Question

问题一：f(x)在x=0处三阶可导与f(x)在x=0的某邻域内三阶可导这两句话可以等价吗？如果不可

问题一：f(x)在x=0处三阶可导与f(x)在x=0的某邻域内三阶可导这两句话可以等价吗？如果不可以是什么原因？
问题二： f(x)在x=0处三阶可导可以推出
f(x)的一阶导函数和二阶导函数在x=0处连续吗？为什么？

Answer 1

f(x)在x=0处三阶可导表示只在该点可导 在x的区间内导数不一定存在 从而像洛必达法则这种就不能用
而f(x)在x=0领域三阶可导就说明在x的区间内导数存在

追答

因为可导的函数一定连续，不连续的函数一定不可导

追问

那请问 f(x)在x=0处三阶可导可否推出f(x)在x=0的某邻域内一阶和二阶可导？

追答

这句是错误的，f(x)在x=0处可导只能推出f(x)''在x=0处连续，且左右导数相等，并不能知道某个邻域内也可导

追问

就是高阶在某点可导不能推出低阶在某点邻域可导？

追答

f(x)在x0及其附近有定义,则当a趋向于0时,若 [f(x0+a)-f(x0)]/a的极限存在, 则称f(x)在x0处可导。
某点不能推出某个邻域