Question

求解第二小题

Answer 1

【题目】来源:作业帮
操作发现
将一副直角三角板如图①摆放,能够发现等腰直角三角板ABC的斜边与含30∘角的直角三角板DEF的长直角边DE重合。
问题解决
将图①中的等腰直角三角板ABC绕点B顺时针旋转30∘，点C落在BF上，AC与BD交于点O，连接CD，如图②。

(1)求证：△CDO是等腰三角形；
(2)若DF=8，求AD的长。

【考点】
等腰直角三角形；等腰三角形的判定；含30度角的直角三角形；勾股定理；矩形的判定与性质．
【解析】
（1）根据题意可得BC=DE，进而得到∠BDC=∠BCD，再根据三角形内角和定理计算出度数，然后再根据三角形内角与外角的性质可得∠DOC=∠DBC+∠BCA，进而算出度数，根据角度可得△CDO是等腰三角形；
（2）作AG⊥BC，垂足为点G，DH⊥BF，垂足为点H，首先根据∠F=60°，DF=8，可以算出DH=4
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，HF=4，DB=8
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，BF=16，进而得到BC=8
3
，再根据等腰三角形的性质可得BG=AG=4
3
，证明四边形AGHD为矩形，根据线段的和差关系可得AD长．
【解答】
(1)证明：由图①知BC=DE，
∴∠BDC=∠BCD，
∵∠DEF=30∘，
∴∠BDC=∠BCD=75∘，
∵∠ACB=45∘，
∵∠DCO+∠BCO=75∘
∴∠DCO=30∘
∵∠DCO+∠CDO+∠DOC=180∘，
∴∠DOC=30∘+45∘=75∘，
∴∠DOC=∠BDC，
∴△CDO是等腰三角形；

(2)作AG⊥BC，垂足为点G，DH⊥BF，垂足为点H，
在Rt△DHF中，∠F=60∘，DF=8，
∴DH=43√，HF=4，
在Rt△BDF中，∠F=60∘，DF=8，
∴DB=83√，BF=16，
∴BC=BD=83√，
∵AG⊥BC，∠ABC=45∘，
∴BG=AG=43√，
∴AG=DH，
∵AG∥DH，AG⊥BC，
∴四边形AGHD为矩形，
∴AD=GH=BF−BG−HF=16−43√−4=12−43√
题目来源：作业帮
【题目】来源:作业帮
操作发现
将一副直角三角板如图①摆放,能够发现等腰直角三角板ABC的斜边BC与30∘角的直角三角板DEF的长直角边DE重合。
问题解决
将图①中的等腰三角板ABC绕点B顺时针旋转30∘，点C落在BF上.AC与BD交于点O，连接CD，如图②。

(1)求证：△CDO是等腰三角形；
(2)若DF=23√，求AC的长。

【考点】
旋转的性质；等腰三角形的判定与性质；解直角三角形．
【解析】
（1）根据旋转的性质，可得BC与DE的关系，∠DBC的度数，根据三角形的外角的性质，可得∠DOC、∠OBC与∠OCB的关系，根据等腰三角形的判定，可得答案；（2）根据正切的意义，可得BD的长，根据正弦的意义，可得答案．
【解答】

(1)证明：ABC绕点B顺时针旋转30∘，
∴BC=DE,∠DEF=30∘，
∴∠BDC=∠BCD.
∠BDC=∠BCD=(180∘−∠DBC)÷2=75∘
∵∠ACB=45∘，∠DOC=∠OBC+∠OCB，
∴∠DOC=30∘+45∘=75∘.
∴∠COD=∠BDC.
∴△CDO是等腰三角形；
(2)在Rt△BDF中,DF=23√，
DFBD=tan∠DBF=tan30∘=3√3，
∴BD=3√⋅23√=6.
BC=BD=6
在Rt△ABC中,ACBC=AC6=sin45∘=2√2，
∴AC=2√2⋅6=32√.