Question

求数列通项，前N项和的解题方法及技巧？错位相减法，累加法等，最好有例题

Answer 1

数列求和方法
1. 公式法：00等差数列求和公式:

00Sn=n(a1+an)/2=na1+n(n-1)d/2

00等比数列求和公式：

00Sn=na1(q=1) Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an×q)/(1-q) (q≠1)

00其他

001+2^2+3^2+4^2+........+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

001+2^3+3^3+4^3+........+n^3=[n(n+1)/2]^2
2.错位相减法00适用题型：适用于通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式 和等差等比数列相乘 { an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列. Sn=a1b1+a2b2+a3b3+...+anbn

00例如：

00an=a1+(n-1)d

00bn=b1·q^(n-1)

00Cn=anbn

00Tn=a1b1+a2b2+a3b3+a4b4....+anbn

00qTn= a1b2+a2b3+a3b4+...+a(n-1)bn+anb(n+1)

00Tn-qTn= a1b1+b2(a2-a1)+b3(a3-a2)+...bn[an-a(n-1)]-anb(n+1)

00Tn(1-q)=a1b1-anb(n+1)+d(b2+b3+b4+...bn) ______①

00=a1b1-an·b1·q^n+d·b2[1-q^(n-1)]/(1-q)

00=a1b1-(a1+nd-d)·b1q^n+d·b2[1-q^(n-1)]/(1-q)

00Tn=上述式子/(1-q)

00此外.①式可变形为

00Tn(1-q)=a1b1-anb(n+1)+d(Sn-b1) Sn为{bn}的前n项和.

00此形式更理解也好记
3.倒序相加法00这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个(a1+an)

00Sn =a1+ a2+ a3+...... +an

00Sn =an+ a(n-1)+a(n-2)...... +a1

00上下相加 得到2Sn 即 Sn= （a1+an)n/2
4.分组法00有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为亏者几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.

00例如：an=2^n+n-1
5.列项法00适用于分式形式的通项公式，把一项拆成两个或多个的差的形式，即an=f(n+1)－f(n)，然后累加时抵消中间的许多项。

00常用公式：

00（1）1/n(n+1)=1/n-1/(n+1) ，1/（n-1）-1/n<1/n2<1/n-1/n+1（n≥2）

00（2）1/(2n-1)(2n+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]

00（3）1/n(n+1)(n+2)=1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)]

00（4）1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)

00（5） n·n!=(n+1)!-n!

00（6）1/（√n+√（n+a））=1/a（√（n+a）-√n）

00[例] 求数列an=1/n(n+1) 的前n项和.

00解：an=1/n(n+1)=1/n-1/(n+1) （裂项）

00则

00Sn

00=1-1/2+1/2-1/3+1/4…+1/n-1/(n+1)（裂项求和）

00= 1-1/(n+1)

00= n/(n+1)

00小结：此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后，其中中间的大部分项都互相抵消了。只剩下有限的几项。

00注意： 余下的项具有如下的特点

001余下的项前后的位置前后是对称的。

002余下的项前逗空则后的正负性是相反的。
6.数学归纳法00一般地，证明一个与正整数n有关的命题，有如下步骤：

00（1）证明当n取第一个值时命题成山棚立；

00（2）假设当n=k（k≥n的第一个值，k为自然数）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。

00例：

00求证：

001×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + …… + n(n+1)(n+2)(n+3) = [n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)]/5

00证明：

00当n=1时，有：

001×2×3×4 = 24 = 2×3×4×5/5

00假设命题在n=k时成立，于是：

001×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + …… + k(k+1)(k+2)(k+3) = [k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5

00则当n=k+1时有：

001×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + …… + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)

00= 1×2×3×4 + 2×3×4*5 + 3×4×5×6 + …… + k(k+1)(k+2)(k+3) + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)

00= [k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5 + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)

00= (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)*(k/5 +1)

00= [(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)(k+5)]/5

00即n=k+1时原等式仍然成立，归纳得证
7.通项化归00先将通项公式进行化简，再进行求和。

00如：求数列1，1+2，1+2+3，1+2+3+4,……的前n项和。此时先将an求出，再利用分组等方法求和。
8.并项求和：00例：1－2+3－4+5－6+……+（2n-1）-2n

00方法一：（并项）

00求出奇数项和偶数项的和，再相减。

00方法二：

00（1－2）+（3－4）+（5－6）+……+[（2n-1）-2n]