Question

微分学中值定理习题求解

设函数f(x)在[a,b]上三阶可导，证明存在e∈(a,b)使得
f(b) = f(a) + 1/2(b-a)[f'(a) + f'(b)] - 1/12 (b - a) ^ 3 * f'''(e)
这道题貌似要构造辅助函数，用拉格朗日中值定理 ；但我不会构造辅助函数……
求大牛指点迷津！谢谢了！悬赏10分！

Answer 1

其实这道题用泰勒展开要方便些,具体做法是:

把f[(a+b)/2]分别在点a和b泰勒展开至三阶导余项,相减,并利用导函数的介值定理(不是中值定理,可参考此处:http://baike.baidu.com/view/632063.htm)立马可得.

如果非要构造辅助函数用拉格朗日中值定理,计算会很繁琐.下面涉及计算的我用mathematica编程来计算和证明,主要是说说思想.
假设构造了g(x),如果满足:

条件一:g(a)=0,g(b)=0,

则存在g'(e1)=0,
如果还满足:

条件二:g'(a)=0,g'(b)=0,

则存在g''(e21)=0,g''(e22)=0,
也就存在g'''(e3)=0
最后只要再满足:

条件三:g'''(e3)=0与求证的结论等价,

原命题即可得证.

这里说个自己总结的技巧:
考虑到拉格朗日中值定理的证明所构造的函数是一个多项式H(x),满足H(a)=f(a),H(b)=f(b).
本题中出现了f(a),f(b),f'(a),f'(b),则构造的多项式满足:
H(a)=f(a),H(b)=f(b),H'(a)=f'(a),H'(b)=f'(b)即可.这实际上是个埃尔米特(Hermite)插值,参见这里http://baike.baidu.com/view/4689753.htm

于是,构造g(x)=f(x)-H(x),H(x)的形式有现成函数可以调用,具体形式为:
g[x_] = f[x] -
InterpolatingPolynomial[{{a, f[a], f'[a]}, {b, f[b], f'[b]}}, x] //
Simplify
结果为:
-f[a] + f[x] - (1/((a - b)^3))(a - x) (-(a - x) (a - 3 b + 2 x) f[a] + (a - x) (a - 3 b + 2 x) f[b] - (a - b) (b - x) ((b - x)
这就是构造的函数的具体形式,只需逐步验证上面三个条件即可:
{g[a], g[b], D[g[#], #] &[a], D[g[#], #] &[b],
D[g[x], {x, 3}]} // Simplify
结果为:
{0, 0, 0, 0, -((6 (-2 f[a] + 2 f[b] + (a - b) (f'[a] + f'[b])))/(a - b)^3) + f'''[x]}
可以看出构造此g(x)便可用拉格朗日中值定理证明原式.

追问

谢谢，不过三阶导数没说连续啊，怎么用介值定理……还有，化开的两个泰勒展开式中的f''(a)和 f''(b)项怎么消掉啊……请说详细点好吗

追答

你一说我才注意到,原来百科http://baike.baidu.com/view/632063.htm上的说法是错误的.
他的原话是:"设函数y=f(x)在闭区间[a,b]上连续",结论是"在开区间(a,b)内至少有一点ξ，使得 f(ξ)=C (a<ξ<b)".这里应该把 f(ξ) 改成f'(ξ).
所以此题我们只需要f''(x)连续即可,既然f三阶可导这个结论是显然的.
相减后会出现f''(b)-f''(a)一项,实际上已经可以用一次拉格朗日中值定理化成(b-a)f'''(e30),结合展开后出现的f'''(e31)和f'''(e32),这三个最后是一个线性组合,而且可以证明这个表达式在f'''(e30),f'''(e31),f'''(e32)三个值之间.这里就是应用介值定理的地方,一定存在f'''(ξ)等于这三个值的线性运算结果,带入化简即可.

Answer 2

是否有三阶导数连续的条件？