Question

|3x +4y|绝对值的二重积分,d=x^2 +y^2小于等于1.

用极坐标做

Answer 1

直线3x+4y=0（即y=-3x/4）把全平面分成两部分：

在直线及其右上方，成立3x+4y》0；

在直线的左下方，成立3x+4y<0。

|3x+4y|=r|3cosu+4sinu|=5r|sin(u+arctan0.75)|，

∫<0，2π>|sin(u+arctan0.75)|du=2∫<0，π>sinvdv(其中v=u+arctan0.75)。

绝对值或模数| x | 的非负值，而不考虑其符号，即| x | = x表示正x，| x | = -x表示负x（在这种情况下-x为正），| 0 | = 0。例如，3的绝对值为3，-3的绝对值也为3。数字的绝对值可以被认为是与零的距离。

扩展资料：

任何有理数的绝对值都是非负数，也就是说任何有理数的绝对值都大于等于0。任何纯虚数的绝对值是就是虚部的绝对值。

当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积。当被积函数小于零时，二重积分是柱体体积负值。

在极坐标系下计算二重积分，需将被积函数f（x，y），积分区域D以及面积元素dσ都用极坐标表示。函数f（x，y）的极坐标形式为f（rcosθ，rsinθ）。

为得到极坐标下的面积元素dσ的转换，用坐标曲线网去分割D，即用以r=a，即O为圆心r为半径的圆和以θ=b，O为起点的射线去无穷分割D。

参考资料来源：百度百科--二重积分

参考资料来源：百度百科--绝对值

Answer 2

直线3x+4y=0（即y=-3x/4）把全平面分成两部分：
在直线及其右上方，成立3x+4y》0；
在直线的左下方，成立3x+4y<0。
本题用该直线把积分区域分成两部分来算即可去掉绝对值符号。

追问

计算：2积分（-37度到143度）dt积分（0到1）r^2（3cost+4sint）dr=28/15跟答案不一样，我感觉这种方法挺好的、为什么算出来不对呢、还是我哪里算错了

|3x+4y|=r|3cosu+4sinu|=5r|sin(u+arctan0.75)|,
∫|sin(u+arctan0.75)|du=2∫sinvdv(其中v=u+arctan0.75)这里为什么去了绝对值du变成dv了

追答

记arctan0.75=a。
则积分=∫dt∫【3rcost+4rsint】rdr
+∫dt∫【-3rcost-4rsint】rdr
=(4/3)【3sina+4cosa】。