Question

线代问题

1.设a与b的内积[a,b]=2, ||b||=2,则[2a+b,-b]=()
2.设3阶方程A的特征值分别为2,4，-1，则 |2A+E|=()
3.设A为n阶方阵，且A^2+A-4E=O,则(A-E)^(-1)=()
要详细过程，谢谢

Answer 1

楼上错了
1.
[2a+b,-b]
=[2a,-b]+[b,-b]
=2(-1)[a,b]+(-1)[b,b]
=(-2)[a,b]-||b||*||b||
=-2*2-2*2
=-8

2.
因为若一个特征值为t，其对应的特征向量为x
(2A+E)x=2Ax+x=2tx+x=(2t+1)x
所以
2t+1是2A+E的特征值
即特征值为
2*2+1=5
2*4+1=9
2*(-1)+1=-1
而行列式就等于特征值的积，即
|2A+E|=5*9*(-1)=-45

3.A^2+A-4E=O
A^2-E+A-E=2E
A^2-E^2+A-E=2E
(A-E)(A+E)+(A-E)=2E
(A-E)(A+E+E)=2E
(A-E)(A+2E)=2E
也可以验证
(A+2E)(A-E)=2E

所以
(A-E)((1/2)A+E)=((1/2)A+E)(A-E)=E

即(A-E)^(-1)=(1/2)A+E

觉得对了请采纳，不明白可追问~

追问

但最后一题给的答案是1/2(A+2e)

追答

跟我的答案一样的，你把括号去掉，就是(1/2)A+E

Answer 2

[2a+b,-b]=[2a,-b]+[b,-b]=-4-2=-6
2A+E的特征值为2x2+1=5 2x4+1=9 2x（-1）+1=-1
则|2A+E|=(5x9x-1)=-45
A^2+A-4E=O解得
A^2+3A-4E=2A
（A-E）（A+4E）=2A
（A+4E）2A^(-1)=(A-E)^(-1)
完毕