Question

已知等差数列{an},3a5=8a12,a1<0,设前n项和为Sn,求Sn取最小值时n的值

Answer 1

设公差为d
3a5=8a12
3(a1+4d)=8(a1+11d)
5a1+76d=0
a1+(76/5)d=0
d=-5a1/76
a1<0 因此d>0
a1+15d=a16=a1+(76/5)d- d/5=-d/5<0
a1+16d=a17=a1+(76/5)d+(4/5)d=(4/5)d>0
即数列前16项均<0，从第17项开始，以后各项均>0
当n=16时，Sn取得最小值。

追问

从d>0往后能解释一下吗

追答

d>0，数列肯定是递增的，这一步应该没问题吧。
要Sn取最小值，那么所加项中不能出现正值，出现的话就不是最小了，对吧。
因此问题转化为到底这个数列中前多少项是小于0的呢？
76/5=15.2，因此只要考虑+15d和+16d的正负情况就可以了。
结果是a160，也就是说前16项是小于0的，从17项开始就>0了
那么就是前16项和最小了。