Question

大学高数习题？

Answer 1

（1）dx=1-1/(1+t)=t/(1+t) dt，dy=(3t²+2t) dt，
dy/dx = (3t²+2t)(1+t)/t=(3t+2)(1+t)，
d²y / dx² = d(dy/dx) / dx = (6t+5)(1+t)/t 。

Answer 2

(1)
x=t-ln(1+t)
dx/dt = 1 - 1/(1+t) = t/(1+t)
y=t^3 +t^2
dy/dt = 3t^2 +2t
dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt) = (3t+2)(1+t) = 3t^2+5t+2
d/dt(dy/dx) = 6t+5
d^2y/dx^2
=d/dt(dy/dx) / (dx/dt)
=(6t+5)(1+t)/t
(2)

x=1-t^2
dx/dt =-2t
y=1-t^3
dy/dt = -3t^2
dy/dx =(dy/dt)/(dx/dt) =3t/2
d/dt(dy/dx) = 3/2
d^2y/dx^2
=d/dt(dy/dx) / (dx/dt)
=(3/2)/(-2t)
=-3/(4t)

Answer 3

解：第1题，解：∵ρ=lim(n→∞)丨an+1/an丨=lim(n→∞)n/(n+1)=1，∴收敛半径R=1/ρ=1。又，lim(n→∞)、Un+1/Un、=、x、/R<l，故，其收敛区间为，、x、<1。
设S(x)=∑[(-1)^n][x^(n+1)]/(n+1)，两边由S(x)对x求导、当、x、<1时，有S'(x)=∑(-x)^n=1/(1+x)。两边从0到x积分，原式=ln(l+x)，其中，、x、<1。
第2题，解：∵ρ=lim(n→∞)丨an+1/an丨=lim(n→∞)(2n+1)/(2n+3)=1，∴收敛半径R=1/ρ=1。又，lim(n→∞)、Un+1/Un、=(x^2)/R<1，故，其收敛区间为，、x、<1。
设S(x)=∑[x^(2n+1)]/(2n+1)，两边由S(x)对x求导、、x、<1时，有S'(x)=∑x^(2n)=1/(1-x^2)。两边从0到x积分，原式=(1/2)ln[(1+x)/(1-x)]，其中，、x、<1。
供参考。

Answer 4

1：
x=t-ln（1+t）
y=t³+t²
dx/dt=1-1/（1+t）=t/（1+t）
dy/dt=3t²+2t
y'=dy/dx=（dy/dt）/（dx/dt）
=（3t²+2t）/[t/（1+t）]
=（1+t）(3t+2)
=3t²+5t+2
dy'/dt=6t+5
d²y/dx²=dy'/dx
=(dy'/dt)/(dx/dt)
=（6t+5）/[t/（1+t）]
=（6t+5）（1+t）/t
=（6t²+11t+5）/t
=6t+11+5/t
（2）解法类似。