Question

在三角形ABC中，角BAC的平分线分别交BC和三角形ABC的外接圆于点D和E，延长AC交过

在三角形ABC中，角BAC的平分线分别交BC和三角形ABC的外接圆于点D和E，延长AC交过C、D、E三点的圆于点F (1)求证EF^2=ED•EA；(2)若AE=6，EF=3，求AF•AC的值

Answer 1

∵∠AFE＋∠CDE＝180°
　∠ADC＋∠CDE＝180°
∴∠ADC＝∠AFE
∵∠ABC＋∠BAE＝∠ADC
　∠CBE＝∠BAE
∴∠ABE＝∠ABC＋∠CBE＝∠ADC＝∠AFE
∵∠BAE＝∠CAE　且AE公用
∴△ABE与△AFE全等（两角夹一边对应相等，两三角形全等）
即：BE＝EF
∵△ABE与△BDE相似
∴EA／BE＝BE／ED
　BE＾2＝ED＊EA
即：EF＾2＝ED＊EA

Answer 2

参考
⑴连接EB,EC；∵AE平分∠BAC∴∠BAE＝∠CAE＝∠EBC＝∠ECB∴⊿ECD∽⊿EAC∴EC／EA＝ED／EC即EC²＝ED·EA
∵E,F,C,D四点共圆；A,B,E,C四点也共圆∴∠F＝∠ADC＝∠BAD＋∠ABD＝∠CBE＋∠ABD＝∠ABE＝∠ECF∴EF＝EC从而EF²＝ED·EA
⑵由⑴DE＝EF²／AE＝3²／6＝1.5，AD＝AE－DE＝6－1.5＝4.5
∵∠ADC＝∠F,∴⊿ADC∽⊿AFE∴AD／AF＝AC／AE∴AC·AF＝AD·AE＝4.5×6＝27

追问

为什么＂∵AE平分∠BAC∴∠BAE＝∠CAE＝∠EBC＝∠ECB＂

追答

∵AE平分∠BAC
∴∠BAE＝∠CAE
∴弧EB=弧EC

∴∠EBC＝∠ECB=∠BAE＝∠CAE

追问

谢了