Question

4x^3-3x+8=0这种方程何解？

Answer 1

1、这种方程如果能够因式分解，首先考虑用因式分解来解；
2、若不能用熟知的方法因式分解，而又要求解出方程的精确解，可以考虑使用 卡丹公式；
3、若只要求解出方程实数范围的近似解，可以通过求一阶导数，二阶导数找出解的大致分布区间，然后用迭代法，求中值的方法，牛顿法 等等各种求近似解的方法，求出方程的近似解。

演一下第三种方法： （4x³-3x+8)'=12x²-3 （4x³-3x+8)''=24x
二阶导数 f''(x<0)<0 => x<0时函数为凸型 ；f''(x>0)>0 => x>0时函数为凹型
极值点 x1=-1/2 x2=1/2 极值 fmax=f(-1/2)=9 fmin=f(1/2)=7
可知 多项式在 （-1/2,+∞)区间与x轴没有交点
∴多项式在（-∞，-1/2）区间有一个零点 【∵x-> -∞时 f(x)-> -∞】
∵f(-2)=-18 ∴方程 4x³-3x+8=0 在 区间 （-2，-1/2)上有一个实数根
用迭代法 x(i+1)=³√[(3xi-8)/4] ，令 x0=-1/2 [或 x0=-2] 解得：
x(10)≈-1.456957106

Answer 2

一元三次方程求根公式的解法

-------摘自高中数学网站

一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的，用类似解一元二次方程的求根公式的配方法只能将型如ax^3+bx^2+cx+d+0的标准型一元三次方程形式化为x^3+px+q=0的特殊型。
一元三次方程的求解公式的解法只能用归纳思维得到，即根据一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式归纳出一元三次方程的求根公式的形式。归纳出来的形如 x^3+px+q=0的一元三次方程的求根公式的形式应该为x=A^(1/3)+B^(1/3)型，即为两个开立方之和。归纳出了一元三次方程求根公式的形式，下一步的工作就是求出开立方里面的内容，也就是用p和q表示A和B。方法如下：
（1）将x=A^(1/3)+B^(1/3)两边同时立方可以得到
（2）x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)(A^(1/3)+B^(1/3))
（3）由于x=A^(1/3)+B^(1/3)，所以（2）可化为
x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)x，移项可得
（4）x^3－3(AB)^(1/3)x－(A+B)＝0，和一元三次方程和特殊型x^3+px+q=0作比较，可知
（5）－3(AB）^（1/3）＝p,－(A+B)=q，化简得
（6）A+B＝－q，AB＝-（p/3）^3
（7）这样其实就将一元三次方程的求根公式化为了一元二次方程的求根公式问题，因为A和B可以看作是一元二次方程的两个根，而(6)则是关于形如ay^2+by+c=0的一元二次方程两个根的韦达定理，即
（8）y1＋y2＝－（b/a）,y1*y2=c/a
(9)对比（6）和（8），可令A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a
(10)由于型为ay^2+by+c=0的一元二次方程求根公式为
y1＝－（b＋（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a)
y2＝－（b－（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a)
可化为
(11)y1＝－(b/2a)-((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)
y2＝－(b/2a)+((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)
将(9)中的A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a代入（11）可得
(12)A＝－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)
B＝－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)
(13)将A，B代入x=A^(1/3)+B^(1/3)得
(14)x=（－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3)+（－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3)
式 (14)只是一元三方程的一个实根解，按韦达定理一元三次方程应该有三个根，不过按韦达定理一元三次方程只要求出了其中一个根，另两个根就容易求出了

追问

给答案行不？这个看不懂。