Question

极限与可导的关系是什么？

Answer 1

在这一点上，函数的极限有可能存在，也有可能不存在。

存在的例子：f(x)=/x/，x_0=0处，极限值为0。

不存在的例子：f(x)=1,x>=0；f(x)=0，x<0，x_0=0处，左右极限不等，从而极限不存在。

若函数f(x)在一点x_0处可导，则有f(x_0+Δx)-f(x_0)=f'(x_0)*Δx+o(Δx)。

令Δx→0，就得出f(x_0+Δx)-f(x_0)→0，也就是f(x_0+Δx)→f(x_0)。

从而f(x)在点x_0处连续，极限当然就存在了。

相关信息：

可导的话一定连续，但连续不一定可导。

证连续的一般方法是左极限=右极限，所以如果极限存在的话一定连续，极限存在、连续都不能推出可导。

但反之能推出，证可导的方法除了定义还就是左导-右导；反证这反面的问题很复杂要不断整理才能明白。

多元函数：可偏导与连续之间没有联系，也就是说可偏导推不出连续，连续推不出可偏导。

多元函数中可微必可偏导，可微必连续，可偏导推不出可微，但若一阶偏导具有连续性则可推出可微。