Question

可去奇点,极点,本性奇点之间的区别是什么?

Answer 1

可去奇点，极点，本性奇点之间的区别是含义不同。

1、若f(z)在a附近有界，称a为f的可去奇点。因为根据Riemann的奇点定理可以知道此时f(z)在a处的极限存在，因此可增加定义a点的函数值为极限值，利用Morera可证f全纯。

2、若f(z)在a处的极限为∞，则称之为极点。因为此时a是1/f的可去奇点！

3、若极限不存在，称之为本性奇点。

其它类型奇点

受黎曼定理启示，给定一个不可去奇点，我们可能问是否存在一个自然数m使得 limz→a(z - a)f(z) = 0。

如果存在，a称为f的一个极点，这样最小的m称为a的阶数。所以可去奇点恰好是零阶极点。一个全纯函数在极点附近一致发散到无穷远点。

Answer 2

可去奇点、极点和本性奇点都是函数在定义域内出现的异常现象，但它们各自具有不同的特征和行为。
1. 可去奇点是指函数在某一点处没有定义，但这个点可以被连续地拓展，使函数在该点附近连续。典型例子是有理函数在分母为零的点上的奇点，可以通过化简或极限运算使函数在奇点处得到连续拓展。
2. 极点是指函数在某一点处取无限大或无限小值，但这个点不可以被连续地拓展。典型例子是正切函数在 $\frac{\pi}{2}$ 和 $-\frac{\pi}{2}$ 处的奇点，这些点都是函数在该点处趋向于无限大或无限小的极限点。
3. 本性奇点是指函数在某一点处既不取有限值也不趋向于无限大或者无限小，而是表现出一些非常特殊的行为。典型的本性奇点包括指数函数在 $0$ 处的奇点和正弦函数在无理数倍的 $\pi$ 处的奇点。这些奇点的特殊性质使得函数在这些点附近的行为异常复杂，例如可能存在无数个局部最小值或者无法计算的级数等。
总的来说，函数的奇点是函数在定义域内某些点上出现的异常现象，不同类型的奇点表现出不同的行为，需要特殊处理才能得到函数在奇点附近的正确性质。