Question

求一道高数题的答案

求函数f(x.y.z)=yz+xy在约束条件xy=1,y的平方+z的平方=1下的极值。

Answer 1

当X=根号2、Y=(根号2)/2、Z=-(根号2)/2或X=-(根号2)、Y=-(根号2)/2、Z=(根号2)/2时，f(X,Y,Z)有极小值：1/2；
当X=根号2，Y=Z=(根号2)/2时，f(X,Y,Z)有极大值3/2。

Answer 2

证明；令F(X)=e^x-ax^2-bx-c当F(X)=0证它最多有三个解，对F(X)求导f(x)=e^x-2ax-b再对f(x)求导得g(x)=e^x-2a,显然二次函数a不等于零，当a<o则g(x)恒大于零，则f(x)单调递增当x趋于负无穷时f(x)也大于零从而得F(X)单调最多只有一个解（a<0）当a>0时x<ln2a
g(x)<0f(x)单调递减，x>ln2a
g(x)>0f(x)单调递增则f(x）最小值为x=ln2a
f(ln2a)=2a-2alna-b,若f(ln2a)=2a-2alna-b≥0（即b≤2a-2alna)则函数单调最多也只有一个解，若b>2a-2alna则f(ln2a)<0又根据当a>0时x<ln2a
g(x)<0f(x)单调递减，x>ln2a
g(x)>0f(x)单调递增则f(x）知道f(ln2a)=0有两解，切x1<ln2a,x2>ln2a.所以得x在（-∞，x1)单调递增（x1,x2)单调递减，（x2,
∞)单调递增，所以F(x1)=e^x1-a(x1)^2-bx2-c=2ax1
b-a(x1)^2-bx2-c（因为f(x1)=0c是任意的，所以能保证F(x1)>0)同理可保证F(X2)<O,所以最多有三个解。后面有点麻烦，自己念算一遍，要保证有这样的c,

Answer 3

X=根号正负2 ，Y=Z=二分之根号二时取极大值二分之三。

Answer 4

X=根号2 ， Y=Z=二分之根号二时取极大值二分之三。 不知道对不

Answer 5

极大值是二分之三
无极小值