Question

数学归纳法求数列通项公式

Answer 1

【高考地位】

在高考中数列部分的考查既是重点又是难点，不论是选择题或填空题中对基础知识的考查，还是压轴题中与其他章节知识的综合，抓住数列的通项公式通常是解题的关键和解决数列难题的瓶颈。求通项公式也是学习数列时的一个难点。由于求通项公式时渗透多种数学思想方法，因此求解过程中往往显得方法多、灵活度大、技巧性强。

解题步骤：

第一步 求出数列的前几项，并猜想出数列的通项；

第二步 使用数学归纳法证明通项公式是成立的.

【例】 若数列 的前 项和为 ，且方程 有一个根为 ，

(1) 求 ， ；（2）猜想数列 的通项公式，并用数学归纳法证明

【解析】：

（1）由题意得：

（2）由 知

将 代入 得

………（*）

由（1）得 ，

由（*）得 ，猜想

下面用数学归纳法证明这个结论

(i)当 时已知结论成立

(ii)假设 时结论成立，即

当 时，由（*）得

故 时，结论也成立

综上，由(i)、(ii)可知 对所有正整数 都成立