Question

线性代数关于矩阵行列式性质的问题

选择题

以下哪一个选项是正确的？
1,若AB可以相加，且 |A|>0, |B|>0,则 |A+B|>0
2,若A、B可以相乘，则 |AB| = |A| |B|
3,若A、B可以相乘，且AB=E,则 A逆=B
4,若A、B可以相乘，且 |A|>0, |B|《0,则 |AB|<0

这种题目最纠结了
答案给的是第4个选项

除了选项2，我完全看不出另外两个个哪里错。。。。

希望楼下大大能讲明白，谢谢！

Answer 1

1.首先明确一点|A+B|不等于|A|+|B|,假设B=-A，且 |A|>0, |B|>0，但是|A+B|=0，
总之|A+B|和|A|+|B|没什么关系，不要用他们互相推断。

2.AB可以是方阵，但是A,B不一定是方阵，不一定有行列式。

3.A,B不一定有是方阵，方阵才可逆

4.这是对的，方阵乘以方阵还是方阵，所以AB是方阵，|AB|存在。且满足|AB|=|A||B|。
所以|A|>0, |B|<0时，|AB|<0

追问

懂了。那么，既然1不正确，那下面这道题该怎么解

设A=（a1,a2,a3）,B=(a3,a1,2*a2),其中a1,a2,a3都是三维列向量，已知 |A|=2，求|A+B|=？

追答

首先直接写出A+B并做他的行列式
|A+B|=|a1+a3,a2+a1,a3+2a2| 可以看做是新的三个3维的列向量组成的行列式。
接下来直接用行列式的性质
|a1+a3,a2+a1,a3+2a2|
用第二列减去第一列得

|a1+a3,a2-a3,a3+2a2|

第二列加到第三列上得
|a1+a3,a2-a3,3a2|

把第三列的3提出去得
3|a1+a3,a2-a3,a2|

第二列减去低三列得
3|a1+a3,-a3,a2|

第二列的-号提出去得
-3|a1+a3,a3,a2|

第一列减去第二列得
-3|a1,a3,a2|

交换第二列和第三列得
3|a1,a2,a3| =3|A|=6

Answer 2

1、举个反例就可以了。
A＝【1 0；
0 1】
B＝－A，则|B|＝|A|＝1，但
|A+B|＝|0|＝0，因此结论不对。
注意行列式的加减法运算与实数的加减法运算基本没有共同的地方，
因此这种题基本上就是错误的。
3、AB＝E，但A，B可能不是方阵。
若A，B都是方阵，结论就对了。
如A＝【1，0】一行2列
B＝【1
0】2行一列
AB＝1就是凡列。

追问

不对啊大大，3选项你的反例不满足AB=E啊。。。。

追答

这个就是行列式的线性性质的应用。
|A+B|=|a1+a3，a1+a2，2a2+a3| 第一列写为两列的和，行列式就是两个行列式的和
＝|a1 a1+a2 2a2+a3|+|a3 a1+a2 2a2+a3| 第一个行列式的第二列再写为两列的和，注意有两列成比例时行列式为0；第二个行列式也按第二列写为两个行列式的和。
＝|a1 a2 2a2+a3|+|a3 a1 2a2+a3|+|a3 a2 2a2+a3| 继续做下去
＝|a1 a2 a3|+|a3 a1 2a2|+0+0
＝|A|+|a1 2a2 a3|
=|A|+2|A|
＝6。
AB＝1，1是一阶的单位阵。