Question

设A 是 N阶可逆矩阵，将A 的第I行与第J行对换得到B ，证明B 为可逆矩阵.并指出A 和B，A^* 和B^*间的关系

希望老师给我讲解一下。

Answer 1

由已知, B=E(i,j)A, 其中E(i,j)是单位矩阵交换i,j行得到的初等矩阵
则E(i,j)可逆, 且E(i,j)^-1=E(i,j).
因为 |B| = |E(i,j)||A| = -|A|≠0, 所以B可逆.
且 B*=(E(i,j)A)*=A*E(i,j)*=A*|E(i,j)|E(i,j)^-1=-A*E(i,j).
所以 交换A*的第i,j列,再乘-1, 即为B*.

Answer 2

C为n阶单位矩阵E对调第i行和第j行所得初等矩阵。C^(-1)=C
那么B=CA
两边取行列式即得detB=-detA故B可逆。
B*=B^(-1)detB=(CA)^(-1)(-detA)=-(A^(-1)detA)C=-A*C
B的伴随矩阵即为A的伴随矩阵对调第i列和第j列后再乘-1的结果。