Question

已知二次函数f(x)=ax^2+bx，且f(2)=0，方程f（x）-1=0有两个相等实数根

已知二次函数f(x)=ax^2+bx，且f(2)=0，方程f（x）-1=0有两个相等实数根；
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）用定义证明f(x)在[1,+∞）上是减函数；
（3）当x∈[ -1/2 , 3/2 ]时，利用图像求f（x）的最大值和最小值。

Answer 1

(1)

f(2)=0 即4a+2b=0 ①

方程f(x)-1=0有两个相等实数根

即ax^2+bx-1=0有两个相等实数根

△=b^2+4a=0  ②

由①和②得a=0，b=0或a=-1，b=2

a=0，b=0不符合方程f(x)-1=0有两个相等实数根

a=-1，b=2

f(x)=-x^2+2x

 

(2)

令x1>x2>=1

∴x2-x1<0,(x2)^2-(x1)^2<0

∴f(x1)-f(x2)=[-(x1)^2+2(x1)]-[-(x2)^2+2(x2)]=[(x2)^2-(x1)^2]+2[(x2)-(x1)]<0

∴f(x)在[1,+∞）上是减函数

 

(3)

由图得出

当x=-1/2时f(x)=-5/4为最小值

当x=1时f(x)=1为最大值

Answer 2

(1)解:f(x)=x就是
ax^2+bx=x
ax^2+(b-1)x=0
要使此方程有等根,必有
△=(b-1)^2=0
因此b=1。
由f(1)=0得
a+b=0
a=-1
因此f(x)=-x^2+x。

追问

为什么会f（x）=x ？

Answer 3