Question

求极限！要过程

Answer 1

先把(1+cosx)^x导数求出来备用。

设y=(1+cosx)^x，则lny=xln(1+cosx)
两边对x求导得：y'/y=ln(1+cosx)-xsinx/(1+cosx)
因此：y'=(1+cosx)^x[ln(1+cosx)-xsinx/(1+cosx)]
=(1+cosx)^xln(1+cosx)-xsinx(1+cosx)^(x-1)

下面开始做本题：
首先分母等价无穷小代换为：x²
原式=lim[x→0] [(1+cosx)^x - 2^x] / x²
洛必达法则
=lim[x→0] [(1+cosx)^xln(1+cosx)-xsinx(1+cosx)^(x-1)-2^xln2] /(2x)
将中间那一项先拆出来
=lim[x→0] [(1+cosx)^xln(1+cosx)-2^xln2] /(2x) - lim[x→0] xsinx(1+cosx)^(x-1)/(2x)
第二个极限显在为0，不理了，前一个式子分子-ln2+ln2
=lim[x→0] [(1+cosx)^xln(1+cosx)-ln2+ln2-2^xln2] /(2x)
拆为两个极限
=lim[x→0] [(1+cosx)^xln(1+cosx)-ln2] /(2x) - lim[x→0] ln2(2^x - 1) /(2x)
=A - B

两个分别求，先求B，简单些
B=lim[x→0] ln2(2^x - 1) /(2x)
=lim[x→0] ln2(e^(xln2) - 1) /(2x)
等价无穷小代换
=lim[x→0] xln²2/(2x)
=(1/2)ln²2

再求A
A=lim[x→0] [(1+cosx)^xln(1+cosx)-ln2] /(2x)
分子减ln(1+cosx)再加ln(1+cosx)
=lim[x→0] [(1+cosx)^xln(1+cosx)-ln(1+cosx)+ln(1+cosx)-ln2] /(2x)
拆为两个极限
=lim[x→0] [(1+cosx)^xln(1+cosx)-ln(1+cosx)]/(2x) + lim[x→0] [ln(1+cosx)-ln2] /(2x)
=C+D
分别求，先求D
D=lim[x→0] [ln(1+cosx)-ln2] /(2x)
洛必达法则
=lim[x→0] [-sinx/(1+cosx)] /2
=0

下面求C
C=lim[x→0] [(1+cosx)^xln(1+cosx)-ln(1+cosx)]/(2x)
分子提出ln(1+cosx)
=lim[x→0] ln(1+cosx)[(1+cosx)^x-1]/(2x)
ln(1+cosx)可直接代换为ln2
=lim[x→0] ln2[(1+cosx)^x-1]/(2x)
再用洛必达法则，由于(1+cosx)^x导数已知，这个就好算了。
=lim[x→0] ln2[(1+cosx)^xln(1+cosx)-xsinx(1+cosx)^(x-1)] / 2
=(1/2)ln²2

原式=C+D-B=(1/2)ln²2 - (1/2)ln²2 = 0

真变态，这么麻烦居然结果是0，太没有成就感了，至少应该算出个几倍的ln²2吧。

用数学软件验算，结果正确。

希望可以帮到你，不明白可以追问，如果解决了问题，请点下面的"选为满意回答"按钮。

Answer 2

怎么把一个简单题做这么麻烦

原式=lim[x→0] [(1+cosx)^x - 2^x] / x²
分子提出2^x
=lim[x→0] 2^x[((1+cosx)/2)^x - 1] / x²
=lim[x→0] 2^x[e^(xln((1+cosx)/2) - 1] / x²
等价无穷小代换2^x换成1，e^(xln((1+cosx)/2) - 1换成xln[(1+cosx)/2]
=lim[x→0] xln[(1+cosx)/2] / x²
=lim[x→0] ln[(1+cosx)/2] / x
=lim[x→0] ln[1+(cosx-1)/2] / x
等价无穷小代换
=lim[x→0] (1/2)(cosx-1) / x
=0