Question

如图所示,质量M=10kg,上表面光滑的足够长木板在水平拉力F=50N作用下

如图所示，上表面光滑的木板足够长，质量M=10kg，在F=50N的水平拉力作用下，能以υ0=5m/s的初速度沿水平地面向右匀速运动。现有若干个小铁块，它们质量均为m=1kg。将一个铁块无初速地放在木板最右端，当木板运动了L=1m时，又将第二个铁块无初速地放在木板最右端，以后木板每运动1m就在其最右端无初速地放上一个铁块。求:
1, 第一个铁块无初速地放在木板最右端后，当木板运动了L=1m时，木板的速度多大？
2，最终有几个铁块能留在木板上？
3，最后一个铁块与木板距离多大？

Answer 1

答案：(1) 2√6 m/s (2) 7 (3)6.57 m(或46/7 m)
解析：
(1)没放铁块时，研究木板：由平衡条件知：
F-μMg=0，解得 μ=0.5
每放上一块铁块，木板受到的摩擦力会增大Δf=μmg=5N，
但铁块不动(木板上表面光滑)，木板匀减速运动(注意：每增加一个铁块，地面摩擦力都变化)
放上第一块铁块后，对木板：由动能定理知：
[F-μ(M+m)g]L=0.5Mv1^2-0.5Mv0^2，即 -ΔfL=0.5Mv1^2-0.5Mv0^2，
代入数据，解得 v1=2√6 m/s
(2)木板最终停止，木板的初动能都转化为增加的摩擦力所做的功对应的生热
临界情况：设恰好第n个铁块在木板上时，木板停下，由能量守恒定律知：
0.5Mv0^2=(n-1+…3+2+1)Δf L(第一块放上后木板运动了(n-1)L，依此类推)
整理得 (1+2+3+…+n-1)=25，即 n(n-1)/2=25 ，n^2-n-50=0
解得 n=7.59，即第7个铁块放上去后木块再运动不足1 m便会停下来，所以最终有7个铁块能留在木板上。
(3)第7个铁块放上去时，设木板还能运动的距离为s，全程，能量守恒
0.5Mv0^2=(6+…3+2+1)Δf L+7Δfs，
解得s=4/7 m=0.57m，
故最后一个铁块与木板距离(应该是右端距离)为d=s+6L=6.57 m(注：第7块放上时木板已经滑了6L)。

Answer 2

FS+MV0²/2-ΔfS=0。1、设摩擦因数为u，匀速时摩擦力f=uMg
有：uMg=F，得u=0.5
放上第一块时f1=u(m+M)g=55
F-f1=(M+m)a，得a=-5/11
运动了L后，速度为V1
有：-2aL=V1²-V0²
得V1=2√6m/s
2、设放上n块后，板运动减速到停止运动，第n块运动位移为S。放上n-1块后运动的末速度为V。
前n-1块根据动能定理有：[F-ug(n-1+M)](n-1)=MV²/2-MV0²/2
整理得-5n²+10n=MV²/2-120 ①
第n块根据动能定理有：(F-f)S=0-MV²/2
即5nS=MV²/2 ②
②代入①中得-n²+2n+24=nS
由于S≤L=1，所以(-n²+2n+24)/n≤S=1，即(n²-2n-24)/n≥1，∵n>1
∴n²-2n-24≥1，解得n=5.9，取n=6
所以当木板最终停下来时上面有6个铁块
3、因为木块不受力，相对地面静止，所以从放上第一块到放在最后一块运动到停止时，板运动了多少米就是第一块距右端的距离.
当n-1=4，即n=5时代入①式，所以得③V²=5
最后一块n=6代入②式得S=V²/6，③式代入得S=5/6
所以第一块板离右端X=5L+S=5+5/6=35/6m