Question

椭圆的标准方程具体怎么求？

Answer 1

椭圆的标准方程共分两种情况[1]：
当焦点在x轴时，椭圆的标准方程是：x^2/a^2+y^2/b^2=1，(a>b>0)；
当焦点在y轴时，椭圆的标准方程是：y^2/a^2+x^2/b^2=1，(a>b>0)；
其中a^2-c^2=b^2
推导:PF1+PF2>F1F2(P为椭圆上的点 F为焦点)
中文名
椭圆标准方程
外文名
Standard equation of the ellipse
别称
线条
表达式
x^2/a^2+y^2/b^2=1
提出者
数学家
方程推导
设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，它们之间的距离为2c，椭圆上任意一点到F1，F2的距离和为2a（2a>2c）。

以F1，F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy，则F1,F2的坐标分别为（-c,0)，（c,0)。
设M(x,y)为椭圆上任意一点，根据椭圆定义知
|MF1|+|MF2|=2a，（a>0）
即

将方程两边同时平方，化简得

两边再平方，化简得

又

，设

，得

两边同除以 ，得

这个形式是椭圆的标准方程。
通常认为圆是椭圆的一种特殊情况[2] 。
非标准方程
其方程是二元二次方程，可以利用二元二次方程的性质进行计算，分析其特性[3] 。
几何性质
X，Y的范围
当焦点在X轴时 -a≤x≤a,-b≤y≤b
当焦点在Y轴时 -b≤x≤b,-a≤y≤a
对称性
不论焦点在X轴还是Y轴，椭圆始终关于X/Y/原点对称。
顶点：
焦点在X轴时：长轴顶点：（-a，0），（a，0）
短轴顶点：（0，b），（0，-b）
焦点在Y轴时：长轴顶点：（0,-a），（0,a）
短轴顶点：（b,0），（-b,0）
注意长短轴分别代表哪一条轴，在此容易引起混乱，还需数形结合逐步理解透彻[4] 。
焦点：
当焦点在X轴上时焦点坐标F1（-c,0）F2(c,0)
当焦点在Y轴上时焦点坐标F1（0，-c）F2(0,c)
计算方法
(（其中 分别是椭圆的长半轴、短半轴的长，可由圆的面积可推导出来)或 （其中 分别是椭圆的长轴，短轴的长）[5] 。
圆和椭圆之间的关系：
椭圆包括圆，圆是特殊的椭圆。
参考资料
[1] 曹才翰.中国中学教学百科全书:数学卷[M].沈阳:沈阳出版社
[2] 沈金兴. 数学文化视角下的椭圆标准方程推导[J]. 数学通讯, 2015(8):