Question

直角三角形内切圆的半径公式怎么推导?

Answer 1

直角三角形的内切圆半径公式：r=(a+b-c)/2

设Rt△ABC中,∠C＝90度,BC＝a,AC＝b,AB＝c 　　

结论是：内切圆半径r＝(a＋b－c)/2 　　

证明方法一般有两种： 　　

方法一： 　　

设内切圆圆心为O,三个切点为D、E、F,连接OD、OE 　　

显然有OD⊥AC,OE⊥BC,OD＝OE 　　所以四边形CDOE是正方形 　　

所以CD＝CE＝r 　　所以AD＝b－r,BE＝a－r, 　　

因为AD＝AF,CE＝CF 　　所以AF＝b－r,CF＝a－r 　　

因为AF＋CF＝AB＝r 　　所以b－r＋a－r＝r 　　内切圆半径r＝(a＋b－c)/2 　　

即内切圆直径L＝a＋b－c 　　

方法二： 　　

设内切圆圆心为O,三个切点为D、E、F,连接OD、OE、OF,OA、OB、OC 　　

显然有OD⊥AC,OE⊥BC,OF⊥AB 　　所以S△ABC＝S△OAC＋S△OBC＋S△OAB 　　

所以ab/2＝br/2＋ar/2＋cr/2 　　

所以r＝ab/(a＋b＋c) 　　＝ab(a＋b－c)/(a＋b＋c)(a＋b－c) 　　＝ab(a＋b－c)/[(a＋b)^2－c^2] 　　

因为a^2＋b^2＝c^2 　　所以内切圆半径r＝(a＋b－c)/2 　　即内切圆直径L＝a＋b－c

一般三角形内切圆半径为r=2S/(a+b+c)，S是三角形的面积公式。

公式推导

首先画一个三角形以及三角形的内接圆，分别连接圆心和三角形三个顶点（这时可见三角形分为了三个三角形），再分别连接圆心和三个切点（这时可见三角形分为六个个小三角形），可得这三条线段分别与三角形三条边a、b、c垂直，这时三角形面积可以用三个小三角形来求，

既a*r/2+b*r/2+c*r/2=(a+b+c)*r/2=S  所以r=2S/(a+b+c)

拓展资料

与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，圆心叫做三角形的内心，三角形叫做圆的外切三角形。三角形的内心是三角形三条角平分线的交点

三角形一定有内切圆，其他的图形不一定有内切圆（一般情况下，n边形无内切圆，但也有例外，如对边之和相等的四边形有内切圆。），且内切圆圆心定在三角形内部。

在三角形中，三个角的角平分线的交点是内切圆的圆心，圆心到三角形各个边的垂线段相等。

内切圆的半径为r=2S÷C，当中S表示三角形的面积，C表示三角形的周长。

面积法；1/2lr(l周长）用于任意三角形

若以三角形的内切圆为反演圆进行反演，则三角形的三条边和外接圆会分别变为半径相等的四个圆（半径都等于内切圆半径的一半）。

       

三角形的外接圆半径R、内切圆半径r以及内外心间距OI之间有如下关系：

r^2+OI^2= (R-r)^2