Question

高三数学导数题！！已知函数fx=alnx-(x-1)²-ax a∈R （1）求f(x)单调区间

已知函数fx=alnx-(x-1)²-ax a∈R
（1）求f(x)单调区间
(2)设a>0，如果对于fx的图象上两点P1(x1,f(x1)) P2(x2,f(x2)) (1<x1<x2) 存在x0∈（x1,x2）使得f(x)的图象在x=x0处的切线m∥P1P2，求证：x0＜（x1+x2）/2

Answer 1

如果没猜错这是高考卷或模拟卷的压轴题，而且这题我做到过。
首先说一下，做不出来不要紧，反正这种题在考场上没几个人做得出来，当然第一小题是要做滴。
下面提供这题的解题思路（这种题过程会比较复杂，输入不便，请见谅。）：
（1）求导，f'(x)=-a/x-2x+2-a,
通分解方程f'(x)=0,由十字相乘法得x=1或-a/2
接下来就是分类讨论，根据1和-a/2的大小关系讨论，注意定义域。（高三的孩纸，这个自己做吧，不要怕烦哈）
最后给出结论。
（2）根据（1）中的讨论，a>0时的函数单调性就出来了。
（如果自己水平一般，到这就差不多了，应该可以拿不少的分了，如果觉得自己水平不错就继续。）
其实用高等数学一下就出来了，但是用高中的方法就只能两次求导（求导数的导数）。接着就是需要一定技巧性的替换、转化。（自己看着办，有兴趣的话多钻研一下）
好吧，学长只能帮你到这了。
最后同情一下高三的孩纸，努力吧。祝金榜题名！！！！

追问

谢谢学长~，第一问我能做出来，但是第二问还是不懂，可不可以给我讲下详细过程吗？？谢谢呵·~

追答

首先抱歉，之前的回答导数多了一个负号，应该是f'(x)=a/x-2x+2-a。
下面给出使用凹、凸函数的概念（百度一下，你就知道）的解答：

令g(x)=f'(x)
g'(x)=-a/x^2-2,g"(x)=a/x^3>0
得g(x)是凹函数。
又g(x0)=g[(x1+x2)/2],
得x0<(x1+x2)/2

当然你这样答好像应该拿不到分。
用高中的方法需要较高的技巧性，学长已经学笨了。。。
问老师吧。。。

Answer 2

卟会做。。