Question

如图在RT△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线

（1）以AB上一点O为圆心，AD为弦作圆O
（2）求证：BC为圆O的切线
（3）若AC=3，tanB=3/4，求圆O的直径

Answer 1

1、连接OD
∵AD是∠BAC的平分线
∴∠BAD=∠DAC
∵OA=OD（半径）
∴∠OAD=∠ODA=∠BAD=∠DAC
∵∠DAC+∠ADC=∠C=90°
∴∠ODA+∠ADC=90°
即∠ODC=90°，OD⊥BC
∴BC为圆O的切线
2、∵tanB=AC/BC
∴BC=AC/tanB=3÷(3/4)=4
AB=5(AC=3,BC=4)
∵OD⊥BC，AC⊥BC
∴OD∥AC，△BDO是直角三角形
tanB=OD/BD
BD=OD/(3/4)=4/3OD
∴OB²=OD²+BD²=OD²+(4/3OD)²=25/9OD²
OB=5/3OD
设OB交圆于E
∴BE=OB-OD=5/3OD-OD=2/3OD
∵BC是圆的切线
∴BD²=BE×AB(切割线定理）
(4/3OD)²=2/3OD×5
16/9OD²=2/3DO×5
OD=15/8