Question

已知函数f(x)=ax²+bx+1(a≠0)和g(x)=(bx-a)/(ax+2b) （1）若f(x)为偶函数，判断g(x)奇偶性

(2)若方程g(x)=x有两个不相等的实数根，当a>0时，判断f(x)在（-1,1）上的单调性

Answer 1

(1)f(x)是偶函数，则
f(-x)=f(x),
即ax²-bx+1=ax²+bx+1
∴2bx=0恒成立
∴b=0
g(x)=-a/(ax)=-1/x
g(-x)=-1/(-x)=1/x=-g(x)
∴g(x)是奇函数

（2）
方程g(x)=x有两个不相等的实数根
即(bx-a)/(ax+2b)=x
ax²+bx+a=0有两个不相等的实数根
∴Δ=b²-4a²=0
∴b²/(4a²)=1
∴|b|/(2|a|)=1
∴b/(2a)=±1

当b>0时，
∵ a>0f(x)的对称轴为x=-b/(2a)=-1
∴f(x)在(-1,1)上为增函数
当b<0时，
f(x)的对称轴为x=-b/(2a)=1
f(x)在(-1,1)上为减函数

Answer 2

解：1，若f(x)为偶函数，所以f(x)=f(-x），即ax^2+bx+1=ax^2-bx+1,所以b=0
所以g(x)=-1/x(x≠0），g(-x)=-1/(-x)=-(-1/x)=g(x)
所以g(x)为奇函数；
2，由题意知，（bx-a)/(ax+2b)=x,即（a^2+bx+a)/(ax+2b)=0有两个不同的实数根，
所以△=b^2-4a^2>0且x≠-2b/a.又a>0,所以|b|/2a>1
而f(x）=a(x-b/2a)^2+1-b^2/(4a)
因为a>0,所以x∈（-∞，b/2a]上单调减，在[b/2a,+∞）单调增

所以当b<0时 b/2a<-1,此时f(x）在x∈（-1,1）上单调增，
当b>0时，b/2a>1,此时f(x）在x∈（-1,1）上单调减。