Question

在三角形ABC中p是BC边上的一个动点,以AP为半径的圆O分别交与AB,AC于点E.F

在三角形ABC中p是BC边上的一个动点,以AP为半径的圆O分别交与AB,AC于点E.F.
1.若角BAC=45°，EF=4则AP的长为多少？
2.在1条件下，求阴影部分面积
3.试探究：当点P在何处时，EF最短，请直接写出结论，不用证明

Answer 1

1）连接OE、OF．
∵∠EOF=2∠EAF，∠EAF=45°，
∴∠EOF=90°；
∴△EOF是等腰直角三角形，
∴OE=22EF=22，
∴直径AP=2OE=42；

（2）S阴影=S扇形EOF-S△EOF=90π•(2
2)2360-12×22×22=2π-4；

（3）在直角三角形OEP中，根据垂径定理和勾股定理知，当AP取最小值时，EF的值最小；又根据点到直线的距离垂线段最短垂线段最短知当AP⊥BC时，AP最短．
所以当AP⊥BC时，EF最短

Answer 2

解：
（1）连接OE、OF，因为角BAC=45°，所以角EOF=90°，所以三角形EOF是等腰直角三角形，则有OE=OF=2根号2，所以AP=4根号2；
（2）阴影部分面积=90*π*(2根号2)^2/360-2根号2*2根号2*0.5=2π-4;
（3）AP垂直BC交于P点时，EF最短。

Answer 3

1.连接OE,OF
∵弧EF
∴角EOF=2角EAF=90°
∵OE=OF
EF=4
∴OE=OF=2根号2
∴AP=4根号2
2.S阴影=S扇形OEPF-S△OEF
=90π（2根号2）²/360-1/2(2根号2）²
=2π-4
3.你猜吧