Question

蝴蝶定理

Answer 1

分类: 教育/科学 >> 科学技术
问题描述:

有关蝴蝶定理的知识

解析:

自从学习几何画板以来，我一直在思索着这样一个问题：怎么才能把“蝴蝶定理”推广一下。

我想，能不能把“蝴蝶定理”中的圆由一个变为两个，相应的，还保持一种美妙的性质呢？如图I，是“蝴蝶定理”，有结论EP=PF；如图II，是“蝴蝶定理”的演变，点P，Q，R，S是否也存在某种关系呢？

我在课下做了一个比较精确的图，并进行了测量，进而提出了猜测：QM*PM = MS*MR，或者QM+PM = MS+MR。我又做了几个图进行检验，结果误差都比较小。上机时，利用几何画板做了一个动画，发现误差变化范围很大。我就开始怀疑这个结论。但是我并不死心。我又进行了测算，终于发现等式：成立，其误差在千分位之后。而后给出了一个数学上的证明。

这件事使我感觉到几何画板有以下几个妙处：比手工做图方便、精确、直观、连续。

如图I，取圆O内一条弦的中点P，过P点作AB、CD交圆于A、B、C、D点，连AD、BC交弦于E、F点，则EP=PF。这就是著名的“蝴蝶定理”。

题目：过圆心O的两个同心圆内弦中点M作两条直线交圆于A、B、C、D、E、F、G、H，连AF、BE、CH、DG分别交弦于点P、Q、R、S，则有等式：成立。这就是蝴蝶定理的推广。

证明：引理，如右图，有结论

由及正弦定理即可得到：

原结论

作OM1AD于M1，OM2EH于M2，

于是，MA - MD = MB - MC = 2MM1 = 2Msin；

MH - ME = MG - MF = 2MM2 = 2Msin

且MA*MD = ME*MH，MB*MC = MF*MG，代入上式，又

故原式成立

证毕。