Question

讨论函数 f(x)={[(1+x)^(1/x)]/e}^(1/x),x>0 =e^(-1/2具体点，

主要是转化过程中的每一步，，越详细越好，，急求答案呀。。

Answer 1

题目应该是x→0
lim {[(1+x)^(1/x)]/e}^(1/x)
=lim e^ln {[(1+x)^(1/x)]/e}^(1/x)
=e^lim ln{[(1+x)^(1/x)]/e}^(1/x)
考虑
lim ln{[(1+x)^(1/x)]/e}^(1/x)
=lim ln{[(1+x)^(1/x)]/e} / x
=lim [ln(1+x)^(1/x) - 1] / x
该极限为0/0型，利用L'Hospital法则
=lim [ln(1+x)^(1/x) - 1]' / (x)'
=lim [ln(1+x)/x]'
=lim [x/(1+x) - ln(1+x)] / x^2
该极限为0/0型，利用L'Hospital法则
=lim [x/(1+x) - ln(1+x)]' / (x^2)'
=lim [1/(1+x)^2 - 1/(1+x)] / 2x
=lim (1-1-x) / (2x)(1+x)^2
=lim -1 / 2(1+x)^2
=-1/2
因此，原极限=e^(-1/2)
有不懂欢迎追问