Question

已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,满足2Sn=an+1∧2-n-4,若a2-1,a3,

a7恰为等比数列{bn}的前三项
(1)求数列{an},{bn}的通项公式
(2)若Cn=(-1)∧nlog2bn,-1/anan+1,求数列{Cn}的前n项和

Answer 1

解：
(1)
n=1时，2a1=2S1=(a1+1)²-1-4
整理，得a1²=4
数列各项均为正，a1>0
a1=2
n≥2时，
2an=2Sn-2S(n-1)=[(an+1)²-n-4]-[(a(n-1)+1)²-(n-1)-4]
整理，得an²=[a(n-1)+1]²
数列各项均为正，an>0，a(n-1)+1>0
an=a(n-1)+1
an-a(n-1)=1，为定值。数列是以2为首项，1为公差的等差数列
an=2+1·(n-1)=n+1
n=1时，a1=1+1=2，同样满足表达式
数列{an}的通项公式为an=n+1
设数列{bn}公比为q
a2-1=2+1-1=2，a3=3+1=4，a7=7+1=8
b1=a2-1=2，q=4/2=8/4=2
bn=b1qⁿ⁻¹=2·2ⁿ⁻¹=2ⁿ
数列{bn}的通项公式为bn=2ⁿ
(2)
cn=(-1)ⁿ·log2(bn) -1/[ana(n+1)] (你写得很乱，是这个意思吧？)
=(-1)ⁿ·log2(2ⁿ) -1/[(n+1)(n+2)]
=(-1)ⁿ·n -[1/(n+1)-1/(n+2)]
Tn=c1+c2+...+cn
=[(-1)+2+...+(-1)ⁿ·n]-[1/2-1/3+1/3-1/4+...+1/(n+1)-1/(n+2)]
=[(-1)+2+...+(-1)ⁿ·n]-[1/2- 1/(n+2)]
=[(-1)+2+...+(-1)ⁿ·n]- n/(2n+4)
n为偶数时，
(-1)+2+...+(-1)ⁿ·n=(2-1)+(4-3)+...+[n-(n-1)]=n/2
n为奇数时，n-1为偶数
(-1)+2+...+(-1)ⁿ·n=(n-1)/2 -n=-n/2 -1/2
Tn=(-1)ⁿ·(n/2)+¼[(-1)ⁿ-1] -n/(2n+4)
=[(-1)ⁿ·(2n+1)-1]/4 -n/(2n+4)