Question

正态分布中 数学期望的计算 e^-t/2dt的积分为根号2π怎么证明

Answer 1

标准正态概率密度为：f(x)=e^(-x^2/2)/√2 π x∈(-∞,+∞)
所以根据概率的性质必有：
∫(-∞,+∞)e^(-x^2/2)/√2 π dx=1 即在整个区间上的概率必为1
上式可以化为：=(1/√2 π)∫(-∞,+∞)e^(-x^2/2) dx=1
所以：∫(-∞,+∞)e^(-x^2/2) dx=√2 π

e^(-x^2/2) 这个函数是不可积的，虽然它的原函数(即不定积分)存在，但不能用初等函数表达出来.
因为不可积，所以为了应用方便，有人将它的积分值编成了一个表，要求某一x对应的积分值，直接查表就可以，既简单，又快捷～,这就是标准正态函数分布表

Answer 2

　　积分∫(0,+∞)e^(-x^2)dx 在数学分析或高等数学中是通过Gama函数（Euler积分）（见《含参变量的广义积分》这一节）计算出来的，有兴趣可以查查，或者我再给你。