Question

如图所示,已知点P是正方形ABCD内一点,且∠PAD=∠PDA=15°,求证,△PBC是等边三角形

Answer 1

证明：以AD为底边做等边三角形AED，连接PE，如下图：

∵∠PAD=∠PDA＝15°

∴∠PAE＝∠PAD＋∠DAE＝75°，∠PAB＝90°－15°＝75°，PA＝PD

∵PA＝PD，AE＝DE

∴PE是AD的垂直平分线

∴∠AEP＝30°（等边三角形三线合一）

∴∠APE＝180°－∠PAE－∠AEP＝75°＝∠PAE

∴PE＝AE＝AD＝AB，AB∥PE

∴ABPE是平行四边形

∴PB＝AE＝AD＝BC

同理PC＝BC

∴,△PBC是等边三角形

Answer 2

过O点作PE⊥BC交BC于E,交AD于P,在CE上取一点F连接OF使∠OFE=30°,
设正方形的边长为a,
则CE=(1/2)a ，设OE=b
∵∠OBC=15°, ∠OFE=30° ∴∠COF=15°
∴OF=CF=2b EF=(√3)b
∵CF+EF=CE=(1/2)a
∴2b+(√3)b=(1/2)a
b=a/(4+2√3)
PO=a-b=a-a/(4+2√3)=(√3)a/2
DP=(1/2)a
tan∠ADO=PO/DP=[(√3)a/2]/(1/2)a=√3
∴∠ADO=60° ,同理∠OAD=60°
所以△BOC是等边三角形