Question

如图抛物线y=a（x+1）（x-4）的图像与直线y=1/3x-2相交于a、b两点，且该直线与x轴交与点p，交y轴与点a

坐标轴上是否存在点m，使得三角形mab是直角三角形
坐标轴

Answer 1

如图：∵直线y=（1/3）x-2与x轴交与点p，交y轴与点a

易知a坐标为（0，-2），p坐标为（6,0）

而抛物线与直线y=1/3x-2相交于a、b两点

所以a（0，-2）在抛物线上，代入抛物线解析式可得：-2=a（0+1）（0-4）

故a=1/2                    注：（题干出现了两个a，要分清哪个是代数，哪个是点）

即抛物线解析式为：y=(1/2)（x+1）（x-4）

由此可通过直线及抛物线解析方程得出b点坐标为：b（11/3,-7/9）

假设存在点m（x，y），使⊿mab为Rt⊿。

则由勾股定理可知(x-0)²+[y-（-2）]²+(11/3-0)²+[-7/9-(-2)]²=(x-11/3)²+[y-(-7/9)]²

简化可得y=-3x-2

因为m在抛物线上，故m（x，y）还满足y=(1/2)（x+1）（x-4）

由此可得：x=0或-3，

∵当x=0时，m（0，-2）与a点重合

∴存在点m当其位于坐标（-3，7）时，⊿mab为Rt⊿。

追问

错了

追答

这个值应该是正确的，是否因为还有一个答案所以不正确？

追问

因为m在坐标轴上 且有5个点

追答

非常抱歉，我没有看清题目，以为M在抛物线上。现在重新解答如下：

如图：∵直线y=（1/3）x-2与x轴交与点p，交y轴与点a

易知a坐标为（0，-2），p坐标为（6,0）

而抛物线与直线y=1/3x-2相交于a、b两点

所以a（0，-2）在抛物线上，代入抛物线解析式可得：-2=a（0+1）（0-4）

故a=1/2                   

即抛物线解析式为：y=(1/2)（x+1）（x-4）

由此可通过直线及抛物线解析方程得出b点坐标为：b（11/3,-7/9）

点M在坐标轴上且满足Rt⊿AMB，有以下三种可能：

（1）∠MAB=90°

易知AM所在直线斜率k×（1/3）=-1,且a（0，-2）在直线上，由此可得M坐标为（0，-2/3）和

（0，-2），除去与a点重合的坐标，此时的M点为（0，-2/3）

（2）∠MBA=90°

同（1），直线MB方程为y=-3x+92/9，此直线与坐标轴相交于M4（92/27,0）、M5（0,92/9）

（3）∠AMB=90°

设点M（x，y），使∠AMB=90°。

当x=0时，MB∥x轴，M2坐标为（0，-7/9）

当y=0时，x²+4+(11/3-x)²+(-7/9)²=(11/3)²+[-2-(7/9)]²简化可得9x²-33x+14=0

x=(33±√585)/18

即此时符合条件的M坐标为M3[(33+√585)/18,0],M6[(33-√585)/18,0]

综上，符合条件的点M有6个，坐标分别为（0，-2/3）、（92/27,0）、（0,92/9）、（0，-7/9）、[(33+√585)/18,0]、[(33-√585)/18,0]

Answer 2

解：由题意知 抛物线过点A（0,-2）
将x=0 y=-2 带入y=a（x+1）（x-4）中
解得 a=1/2
故 抛物线表达式为：y=(1/2)（x+1）（x-4）
又因为抛物线与直线交于B点
B=(11/3,-7/9)
假设存在M(x,y)
则向量MA*MB=0 或者 向量BM*BA=0或者 向量 AM*AB=0
然后就能算出来了

Answer 3

解：由题意知 抛物线过点A（0,-2）
将x=0 y=-2 带入y=a（x+1）（x-4）中
解得 a=1/2
故 抛物线表达式为：y=(1/2)（x+1）（x-4）
又因为抛物线与直线交于B点
B=(11/3,-7/9)
假设存在M(x,y)
则向量MA*MB=0 或者 向量BM*BA=0或者 向量 AM*AB=0
然后就能算出来了