Question

一道证明题

Answer 1

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问题描述:

任意给定一个三角形。

是否存在另一个三角形，它的周长和面积分别是已知正三角形周长和面积的2倍？

解析:

标准答案：（注意：请楼下的不要抄袭我的答案）

现在任意给定一个三角形ABC，那么随便以一条边做底，不妨设定为BC

那么从A向BC作高（有可能在BC之外，但是结论都一样，无所谓），垂足为D点。那么现在将垂线BD反向延长一倍，该点设为E点。那么过E 点做 BC的平行线L。 现在假设P是L上任意一点

那么你发现三角形ABC和三角形PBC的面积关系（前者面积是后者面积的一半，因为同底不同高，后者高是前者的2倍）

现在 你需要证明的就是是否存在点P满足三角形PBC和三角形ABC周长存在2倍的关系，

（1）.如果点P在L的无限远处，易知：三角形PBC的周长远大于2倍的三角形ABC周长

所以 现在问题就转变成想办法去证明存在点P使得三角形PBC的周长小于2倍的三角形ABC周长 ,假设P在E点位置

（2）.三角形PBC(EBC)中，PB<AB+AE 而在三角形ABD中，AD<AB（直角边小于斜边）

而AD=AE 由这三个式子

可以得出PB<2AB 同理可证：PC<2AC

又因为BC为两三角形的公共边 所以：三角形PBC周长< 2倍的三角形ABC周长

由（1）（2）知 当P点从E点向无限远处移动的时候，必定存在一点K位置，使其正好能满足三角形PBC(KBC)周长=2倍的三角形ABC周长

周长和面积的两种情况分别证明完毕，故对于一个任意三角形来说，存在另外的一个三角形满足周长和面积都是已知三角形的2倍关系.