Question

已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，

边长为2根号3的等边△ABC随着顶点A在抛物线y=x²-2根号3x上运动而运动。且始终有BC∥x轴
（1）当顶点A运动至与原点重合时，顶点C是否在该抛物线上？
△ABC在运动过程中有可能被x轴分成两部分，当上下两部分的面积之比为1:8（即S上部分：S下部分=1:8）时，求顶点A的坐标
（3）△ABC在直线运动过程中，当顶点B落在坐标轴上时，直接写出顶点C的坐标。

Answer 1

没图，我来试试。
（1）A为（0,0），△ABC边长为2*sqr(3)，BC∥x轴，则C应为（sqr(3),-3）（也可是（-sqr(3),-3），因为你没给图，我不知道B和C谁在左边，谁在右边，我姑且全按B左C右来算）。看C坐标是否满足抛物线方程即可。
（2）设A为（x0，y0），则C为（x0+sqr(3),y0-3）
显然△ABC在运动过程被x轴分成两部分时，得到两个全等的正△。上下两部分的面积之比为1:8，则小、大两三角形面积比为1:9，高之比为1:3。则又有y0-3 = -2*y0。解出y0，再根据抛物线方程解出x0（应有两解）。
（3）A为（x1，y1），B为（x1-sqr(3),y1-3），C为（x1+sqr(3),y1-3）。B在坐标轴上时，即当x1=sqr(3)时，或y1=3时，联立抛物线方程算出C点坐标即可。

追问

（x0+sqr(3),y0-3） sqr(3)是什么？

追答

就是“根号3”。

Answer 2

（1）△ABC顶点位于原点时，C点坐标(√3,-3)，直接将其代入抛物线方程验算：
-3=(√3)^2-2√3*(√3)=3-2*3=-3，等式成立，说明C落在抛物线上；
（2）△ABC面积被x轴分成上下两部分，上部分是小些的等边三角形，当上下面积比是1:8时，小三角形面积是原大三角形面积的1/9，小三角形的高（即顶点A在x轴以上的距离，A的y坐标）为原三角形的1/3，所以y=[2√3*(√3/2)]/3=1，代入抛物线方程求得x=√3±2，顶点坐标是(√3±2,1)；
（3）顶点B落在x轴上时，顶点C坐标(xB+2√3,0)，B落在y轴上时，顶点C坐标(2√3,yB)；