Question

不定积分，求帮忙

（1）y‘－ytanx＝secx，当x＝0，y＝0
（2）xy‘＝y（1＋Iny－Inx）
（1）（2）两题的通解分别为多少

Answer 1

这叫微分方程，不叫不定积分
1、一阶线性微分方程，直接套公式
y=e^(∫ tanx dx)[∫ secxe^(-∫ tanx dx) dx + C]
=e^(-lncosx)[∫ secxe^(lncosx) dx + C]
=(1/cosx)[∫ secxcosx dx + C]
=(1/cosx)(x+C)
=xsecx+Csecx

2、y'=(y/x)[1+ln(y/x)]
令y/x=u，则y=xu，y'=u+xu'
原方程化为：u+xu'=u+ulnu
则分离变量为：du/(ulnu)=dx/x
因此两边积分得：∫ 1/(ulnu) du =∫ 1/x dx
∫ 1/(lnu) dlnu =∫ 1/x dx
lnlnu=lnx+lnC1
得：lnu=C1x
则u=e^(C1x)
令e^(C1)=C，则u=Ce^x
因此y/x=Ce^x，则y=Cxe^x，
由于x，y均为正，因此C>0

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