Question

判断级数的敛散性

如图所示：

级数∑(n!(e/n)^n)
不要试图使用比值法，等于1，判断不了的。试试放缩法

Answer 1

用数学归纳法证明an>=1即可。
若n!(e/n)^n>=1，则
(n+1)!(e/(n+1))^(n+1)
=n!(e/n)^n*e/(1+1/n)^n
>=e/(1+1/n)^n。
因为(1+1/n)^n是严格递增趋于e的，因此必有
(1+1/n)^n<e，
故a(n+1)>=1。
由此知道级数发散。
其实如果知道Stirling公式这道题就很容易了。

Answer 2

设an=n!(e/n)^n
an+1/an=(n+1)!(e/(n+1))^(n+1)/(n!(e/n)^n)
=e*(n/n+1)^n
当n趋向于无穷的时候，an+1/an趋向于e
所以n趋向于无穷的时候，an的极限不存在
所以级数发散

Answer 3

楼主是远景的？目击记！

追问

居然跑来灌水……

追答

我是无处不在的