Question

怎么用不定积分的定义判断是否可以对换

Answer 1

具体回答如下：

根据题意，令x=根号下2tant

t=arctan(x/根号下2)

dx=根号下2*(sect)^2 dt

根号下(2+x^2)dx

=根号下2*sect*根号下2*(sect)^2 dt

=2(sect)^3dt

=sect*tant+ln|sect+tant|+c

=x/根号下(2+x^2)+ln|1/根号下(1+1/2*x^2)+x/根号下2|+c

不定积分的性质：

如果f(x)在区间I上有原函数，即有一个函数F(x)使对任意x∈I，都有F'(x)=f(x)，那么对任何常数显然也有[F(x)+C]'=f(x).即对任何常数C，函数F(x)+C也是f(x)的原函数。

这说明如果f(x)有一个原函数,那么f(x)就有无限多个原函数。设G(x)是f(x)的另一个原函数,即∀x∈I，G'(x)=f(x)。于是[G(x)-F(x)]'=G'(x)-F'(x)=f(x)-f(x)=0。