Question

已知AB是圆O直径，锐角角DAB的平分线AC交圆O于点C，作CD垂直于AD，垂足为D，直线CD与AB

已知AB是圆O直径，锐角角DAB的平分线AC交圆O于点C，作CD垂直于AD，垂足为D，直线CD与AB的延长线交于点E，求证直线CD为圆O的切线

Answer 1

1、连接OC
∵AC是∠DAB的平分线
∴∠DAC=∠BAC
∴弧BC=∠DAB
∵∠BOC=弧BC
∴∠DAB=∠BOC
∴AD∥CO
∵CD⊥AD即∠ADC=90°
∴∠OCD=90°
即OC⊥CD
∴直线CD为圆O的切线
2、连接OC，
∵OA=OC
∴∠OAC=∠OCA=∠BAC
∵AC是∠DAB的平分线
∴∠DAC=∠BAC=∠OCA
∵CD⊥AD
∴∠DAC+∠ACD=90°
∴∠OCA+∠ACD=90°
即∠OCD=90°
∴OC⊥CD
∴直线CD为圆O的切线

Answer 2

连接OC
∵∠CAB＝∠ACO（△OAC是等腰三角形）
　∠CAB＝∠CAD（AC是∠BAD的角平分线）
∴∠CAD＝∠ACO
即：AD∥OC　　（内错角相等两条直线平行）
∵CD⊥AD
∴CD⊥OC
即：CD是圆O的切线

Answer 3

连接OC
∵AC是∠DAB的平分线
∴∠DAC=∠BAC
∴弧BC=∠DAB
∵∠BOC=弧BC
∴∠DAB=∠BOC
∴AD∥CO
∵CD⊥AD即∠ADC=90°
∴∠OCD=90°
即OC⊥CD
∴直线CD为圆O的切线
2、连接OC，
∵OA=OC
∴∠OAC=∠OCA=∠BAC
∵AC是∠DAB的平分线
∴∠DAC=∠BAC=∠OCA
∵CD⊥AD
∴∠DAC+∠ACD=90°
∴∠OCA+∠ACD=90°
即∠OCD=90°
∴OC⊥CD
∴直线CD为圆O的切线
加分