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原有的两个解法都不够简洁.
直截了当地用 tanx=sinx/cosx 同角基本关系式不是很容易想到的嘛!
原式马上改为:求 (sinx/cosx )/(sin3x/cos3x ) (先处理正弦, 将π/2 代入)
即简化为求: 当 x➔π/2 时 cos3x /cosx 的极限,
下面用上下同时求导.
直截了当地用 tanx=sinx/cosx 同角基本关系式不是很容易想到的嘛!
原式马上改为:求 (sinx/cosx )/(sin3x/cos3x ) (先处理正弦, 将π/2 代入)
即简化为求: 当 x➔π/2 时 cos3x /cosx 的极限,
下面用上下同时求导.
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x➔π/2lim(tanx/tan3x)=x➔π/2lim[sec²x/(3sec²3x)]=x➔π/2lim[cos²3x/(3cos²x)]
=x➔π/2lim[-6(cos3xsin3x)/(-6cosxsinx)]=x➔π/2lim(-3sin²3x+3cos²3x)/(-sin²x+cos²x)=3
=x➔π/2lim[-6(cos3xsin3x)/(-6cosxsinx)]=x➔π/2lim(-3sin²3x+3cos²3x)/(-sin²x+cos²x)=3
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原式=lim（tanx/（tanx+tan2x/（1-tanx*tan2x))）=lim（1-2tanx^2/(1-tanx^2)/1+2/(1-tan^2))
=lim(1-3tanx^2)/(3-tanx^2)=3
=lim(1-3tanx^2)/(3-tanx^2)=3
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