Question

7.在数列{an}中已知a1=1，2Sn=an +1/an,an>0),求Sn和an

Answer 1

下面用数学归纳法证明an=√n-√(n-1),n为正整数。
n=1时a1=1=√1-√0，命题成立。
由2Sn=an+1/an,得Sn=(an+1/an)/2=[√n-√(n-1)+√n+√(n-1)]/2=√n.
假设ak=√k-√(k-1),a<k+1>=x>0,那么Sk=√k,
S<k+1>=Sk+a<k+1>=√k+x,①
所以2（√k+x）=x+1/x,
2x(√k+x)=x^2+1,
整理得x^2+2x√k-1=0,x>0,
解得x=√(k+1)-√k,代入①。S<k+1>=√（k+1）,即n=k+1时命题也成立。
所以对任意正整数n,命题都成立：即an=√n-√(n-1),Sn=√n.

Answer 2

数列{an}中已知a1=1，2Sn=an +1/an,an>0),求Sn和an