Question

求参数方程x=e^t,y=ln根号(1+t)确定的函数y=f(x)的一阶导数和二阶导数

Answer 1

x=e^t
y=ln√(1+t)
dy/dt=1/[2(1+t)]
dx/dt=e^t
利用参数方程求导的方法
dy/dx=(dy/dt)÷(dx/dt)
=1/[2e^(t)*(1+t)]
d²y/dx²=[d（dy/dx）/dt]÷(dx/dt)
=-0.5e^(-2t)[(2+t)/(1+t)²]
不明白可以追问，如果有帮助，请选为满意回答！

追问

并求该方程对应的曲线在（0，1）处的切线方程

追答

这个不行吧，应为x=e^t，要想x=0是不可能的，除非考虑的是极限，lim【t→-∞】e^t=0
然而此时y也不会等于1哦
所以参数方程的切线方程求解时，一般题目给的只是参数t的取值！

追问

囧，题目就是这么给的......

追答

那也没办法求呀，因为（0，1）不在曲线上。如果考虑切线过(0,1)点，那么因为dy/dx=K表示斜率，所以曲线的切线方程为
y=Kx+b
即y=x/[2e^(t)*(1+t)] +b
当x=0时，y=b=1，只能解出b=1，所以过(0,1)点的直线
y=x/[2e^(t)*(1+t)] +1

追问

那（1，0）有办法求吗

追答

那就有，因为当t=0时，x=e^t=1, y=ln√(1+t)=0
因此题目求的相当于t=0时的曲线切线
此时dy/dx|t=0
=1/[2e^(t)*(1+t)]|t=0
=1/2
所以切线方程为 y=(1/2)(x-1)

Answer 2

参数方程求导公式：
设x=ψ（t）y=Ψ(t)
f'(x)=(Ψ'(t))/(ψ'(t))
接下来你自己去算吧