Question

求[1除以(根号x+4次根号x)]的不定积分，要步骤

Answer 1

令x=5sina/2

则分母=5cosa

dx=5/2*cosada

原式=∫5/2*cosada/5cosa

=∫da/2

=a/2

=[arcsin(2x/5)]/2+C

解释

根据牛顿-莱布尼茨公式，许多函数的定积分的计算就可以简便地通过求不定积分来进行。这里要注意不定积分与定积分之间的关系：定积分是一个数，而不定积分是一个表达式，它们仅仅是数学上有一个计算关系。

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。连续函数，一定存在定积分和不定积分；若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

Answer 2

第二类换元法。令t=x^(1/4)

Answer 3

令x=t²,dx=2tdt
积分{dx/[√(x+√x)]}
=积分{2tdt/[√(t²+t)]}
=积分{2dt/[√(t+1)]}
=积分{2d(t+1)/[√(t+1)]}
=2√(t+1)*2+c
=4√(t+1)+c
=4√(√x+1)+c