Question

幂指函数求积分？比如y=x^x,不一定要求不定积分，定积分的求法也行，比如从0积到1。

现有的积分公式是不是有些匮乏呢？

Answer 1

y=x^x的原函数应该无法表示为初等函数。至于从0到1的定积分，可以用级数的方法来做。x^x=e^(xlnx)=1+(xlnx)+(xlnx)^2/2!+(xlnx)^3/3!+……逐项积分得∫（0～1）x^xdx=∫（0～1）dx+∫（0～1）xlnxdx+∫（0～1）(xlnx)^2/2!dx+∫（0～1）(xlnx)^3/3!dx+……=1-1/2^2+1/3^3-1/4^4+……
许多函数的不定积分都是求不出来的，即无法表示为初等函数。

追问

你会泰勒展开吗？x0你打算取谁呢？
你来找个规律：1,2,3,8,10,54，-42
你能写出下一项吗？
那你怎么用泰勒展开呢？
定积分为什么积不出来呢？
难道定积分只有求原函数这一种不太实用的办法吗？
我们已经证明了连续函数都可积，那么为什么无法求呢？
即使无法用初等函数表示，那超越函数我们又知道多少呢？
这些问题怎么解决呢？

追答

连续函数都可积，但初等函数的原函数不一定是初等函数。实际上，很多初等函数的原函数都无法用初等函数表示，比如e^(-x^2)、sinx/x等（这些函数理论上已经证明其原函数不是初等函数）。但求定积分不一定要求被积函数原函数，可以采用别的方法，或者可以近似计算。

Answer 2

求原函数
F(x)是f(x)的原函数
f(x)对0到1积分值就是F(1)-F(0)

Answer 3

y=x^x，对y求导，知y‘=x^x，所以y的积分是x^x+C