Question

设A为n阶方阵,若已知r(A)=1,证明存在常数k使A^2=kA

困扰我一天了。。。求高手详解 追加分。
后面答案提示说是要用到r(A)=1则A=αβT这个知识点

Answer 1

因为 r(A)=1 ，
因此 A 中至少有一列非零，不妨设第一列 α ≠ 0 ，
由于 r(A)=1 ，因此其余各列都可以写成 βi*α 的形式，其中 βi(i=2，3，。。。，n) 为实数 ，
则 A=(α，β2*α，β3*α，。。。，βn*α)=α*(1，β2，β3，。。。，βn) ，
取 β=(1，β2，β3，。。。，βn) ，
则 A=α*β 。这里，α 为列向量，β 为行向量，因此 β*α 为实数，设为 k ，
所以 A^2=(α*β)*(α*β)=α*(β*α)*β=k*α*β=kA 。命题得证。

Answer 2

解：因为r(A)=1，令α、β均为n×1的矩阵，那么A可以表示为αβT，
注意到βT为1×n的矩阵，
所以βTα为1×1的矩阵，可以表示为：βTα=k×(E1)。（其中k为常数，E1为一阶单位阵）

所以A^2=A×A=αβT×αβT=α×(βTα)×βT=α×(k×(E1))×βT=k×α×(E1))×βT（把常数k提取出来）
=k×(α×βT) （这里利用单位阵的性质：α×E1=α）
=kA
所以，得证。

Answer 3

证：
∵rank(A)=1，A为n阶方阵
∴A =αβ'（'表示转置）
∴A²=αβ'αβ'=α(β'α)β'
令k=β'α，∴A²=kαβ'=kA 结论得证！