Question

数学定积分的两道计算题

1.定积分
=？
其中sinx^2是整个（sinx）的平方
2.
=？
这种定积分该怎么解啊？我第一思路是利用奇偶性，但貌似判断不出来它们的奇偶性。。跪求高人指点。。先谢了！~





Answer 1

不好意思,我来晚了！积分函数本身没有奇偶性，但可以将其拆分开来。其中有些部分会满足奇偶性。具体答案请见图片

Answer 2

第一道，(x^3+1)(sinx)^2=x^3*(sinx)^2+(sinx)^2 显然 加号前部分是奇函数，后部分偶函数。由于积分区域对称。故原积分相当于对 (sinx)^2 定积分。先求出他的不定积分。
(sinx)^2 = (1-cos2x)/2 很容易求出其不定积分=(2x-sin2x)/4
那么原定积分=π/2

第二道，方法同上，积分式子=(x^3/1+x^2) + ( 1/1+x^2) 前部分是奇函数，后部分是偶函数
那么只需求后部分的积分。其不定积分=arctan x 那么其定积分=π/2
注：像这类题目，积分式子本身没有奇偶性，但可以将其拆分开来。其中会部分满足奇偶性。只要积分区域对称，那么奇函数部分的定积分=0 ，问题就转化为求另一部分的啦。这种方法往往可以简化计算事半功倍。 楼上虽然结果正确，但方法不够灵活。

Answer 3

先计算不定积分:
∫(x^3+1)(sinx)^2dx
=∫(x^3+1) *(1-cos2x)/2 dx
=[∫(x^3+1) dx -∫(x^3+1)*cos2xdx]/2
=x^4/8+x/2 -∫(x^3+1)d(sin2x) /4
=x^4/8+x/2 -[(x^3+1) *sin2x +∫sin2xd(x^3+1)]/4
=x^4/8+x/2 -[(x^3+1)*sin2x +∫3x^2sin2xdx]/4
=x^4/8+x/2-[(x^3+1)sin2x-1/2∫3x^2d(cos2x)]/4
=x^4/8+x/2-1/4(x^3+1)sin2x+1/8(3x^2*cos2x +∫3cos2xd(x^2))
=x^4/8+x/2-1/4(x^3+1)sin2x+3/8x^2cos2x+3/8(x^2cos2x-积分2xcos2xdx)
=x^4/8+x/2-1/4(x^3+1)sin2x+3/8x^2cos2x+3/8x^2cos2x-3/8(xsin2x+sin2xdx)

=x^4/8+x/2-1/4(x^3+1)sin2x+3/4x^2cos2x-3/8xsin2x+3/16cos2x
再把上限Pai/2,下限-Pai/2代入计算得到,
原式=(Pai/4)*2=Pai/2
===============================================================================
积分(x^3+1)/(x^2+1)dx=积分[x(x^2+1)-x+1]/(x^2+1)]dx

=积分[x-(x-1)/(x^2+1)]dx
=积分xdx-积分x/(x^2+1)dx+积分1/(x^2+1)dx
=x^2/2-1/2积分d(x^2+1)/(x^2+1)+arctanx
=x^2/2-1/2ln(x^2+1)+arctanx
把上限1,下限-1代入得到:
原式=arctan1-arctan(-1)=2arctan1=2*Pai/4=Pai/2.

打得好累啊.

Answer 4

1.∫（x^3+1）(sinx)^2dx=∫(x^3+1）(1-cos2x)/2dx=1/2∫(x^3+1）dx-1/2∫(x^3+1）cos2xdx=1/8*x^4+1/2*x-1/4∫(x^3+1）d(sin2x)=1/8*x^4+1/2*x-1/4*(x^3+1) (sin2x)+ 1/4∫sin2xd (x^3+1）=1/8*x^4+1/2*x-1/4*(x^3+1) (sin2x)- 1/8∫3x^2d(cos2x)=1/8*x^4+1/2*x-1/4*(x^3+1) (sin2x)- 3/8*x^2*cos2x + 3/8∫cos2x d (x^2)=1/8*x^4+1/2*x-1/4*(x^3+1) (sin2x)- 3/8*x^2*cos2x + 3/8∫(cos2x) *2*xd x=1/8*x^4+1/2*x-1/4*(x^3+1) (sin2x)- 3/8*x^2*cos2x + 3/8∫xd (sin2x)=1/8*x^4+1/2*x-1/4*(x^3+1) (sin2x)- 3/8*x^2*cos2x + 3/8*x*sin2x- 3/16∫sin2xd (2x)=1/8*x^4+1/2*x-1/4*(x^3+1) (sin2x)- 3/8*x^2*cos2x + 3/8*x*sin2x+ 3/16*cos2x从-π/2到+π/2定积分=π/22.(x^3+1)/(x^2+1)=(x^3+x-x+1)/(x^2+1)=x-x/(x^2+1)+1/(x^2+1)原积分式=∫xdx-∫x/(x^2+1)dx+∫1/(x^2+1)dx=1/2*x^2-1/2*ln(x^2+1)+atan(x)从-1到+1积分：原式=π/2