Question

设矩阵A=【2,1,1;1,2,1;1,1,a】,向量a=【1,b,1】是矩阵A*的一个特征向量,求a和b

Answer 1

由定理，A*的特征向量也是A的特征向量，所以存在λ使得：

Aa=λa，即得：

1、b+3 = λ

2、2b+2 = λb

3、a+b+1 = λ

由1、3式解得：a=2；

且2b+2 = b(b+3)，即：

b^2+b-2 = 0，即：

(b-1)(b+2)=0

所以 b=1 或 b=-2。

注：

设α是A*的属于特征值λ的特征向量

则 A*α=λα

所以 AA*α=λAα，即 |A|α=λAα

所以当A可逆时，Aα=(|A|/λ)α

所以α也是A的特征向量。

求矩阵的全部特征值和特征向量的方法如下：

第一步：计算的特征多项式；

第二步：求出特征方程的全部根，即为的全部特征值；

第三步：对于的每一个特征值，求出齐次线性方程组的一个基础解系，则的属于特征值的全部特征向量是（其中是不全为零的任意实数）。

Answer 2

解: 由定理,A*的特征向量也是A的特征向量.
所以存在λ使得 Aa=λa
即得
b+3 = λ
2b+2 = λb
a+b+1 = λ
由1,3式解得: a=2
且 2b+2 = b(b+3)
即 b^2+b-2 = 0
即 (b-1)(b+2)=0
所以 b=1 或 b=-2.

注:
设α是A*的属于特征值λ的特征向量
则 A*α=λα
所以 AA*α=λAα, 即 |A|α=λAα
所以当A可逆时, Aα=(|A|/λ)α
所以α也是A的特征向量

追问

为什么A可逆时才有这个 Aα=(|A|/λ)α呢？明明可以直接从 |A|α=λAα可以直接推出来了啊？和A是否可逆貌似木有关系吧？我没懂，再次求指教。。。谢谢哈

追答

A的行列式等于A的所有特征值之积
|A|≠0 A可逆
A可逆时其特征值不等于0

Answer 3

A*a=ka，k为特征值
AA*a=kAa
|A|a=kAa
Aa=|A|/k·a
a也是A的特征向量，列写Aa=k‘a求解
a=2，b=1或-2，k’=4或1

Answer 4

Aa=λa Aa=（IAI/λ）a
令λ=x则
2+b+1=x+bx+x
1+2b+1=x+bx+x
1+b+a=x+bx+x
联立求解
b=1 a=2
Aa=（IAI/λ）a
2+b+1=

1+2b+1=
1+b+a=
求解
a=2，b=