Question

设f(x)是定义在R上的函数，且对任何x，y∈R，都有f(x＋y)＝e^xf(y)＋e^yf(x).

设f(x)是定义在R上的函数，且对任何x，y∈R，都有f(x＋y)＝e^xf(y)＋e^yf(x).若f'(0)＝e,求f(x)

Answer 1

令x＝y＝0得f(0)＝0
f(x+h)＝e^x×f(h)＋e^h×f(x)
f(x+h)－f(x)＝(e^h－1)×f(x)＋e^x×f(h)＝(e^h－1)×f(x)＋e^x×(f(h)－f(0))

f'(x)
＝lim(h→0) [f(x+h)－f(x)]/h
＝lim(h→0) (e^h－1)/h×f(x)＋lim(h→0) e^x×(f(h)－f(0))/h
＝f(x)＋e^x×f'(0)
＝f(x)＋2e^x

此微分方程是一阶线性方程，套用通解公式得f(x)＝Ce^x＋2(x+1)e^x，C是任意常数. 由f(0)＝0得C＝－2
所以f(x)＝2xe^x

Answer 2

f（x）=xe^x

Answer 3

又没说函数的导数存在，能利用导数公式吗？能求偏导吗？