Question

大学微积分求助！讲的清楚的再加分！

∫x㏑（x²+1）dx =？
∫（arcsinx）²dx =？

答案
1.=1/2(x²+1)ln(x²+1)-1/2(x²+1)+C
2.=x(arcsinx)²+2（√1-x）·arcsinx-2x+C

Answer 1

第一题：x是1/2x²的微分，也是1/2（x²+1）的微分，原式先变成1/2∫㏑（x²+1）d（x²+1）,这下会了吧，等于就是1/2∫lntdt，不定积分结果是1/2（tlnt-t+c）把t换成（x²+1）就是结果
第二题：直接分部积分，∫（arcsinx）²dx =x(arcsinx)²-∫xd （arcsinx）²=x(arcsinx)²
-∫2arcsinx*1/√1-x²*xdx注意1/√1-x²*x跟d（√1-x²）有关系，原式继续=x(arcsinx)²+2∫arcsinxd√1-x²，再次分部积分
原式继续=x(arcsinx)²+2（√1-x）·arcsinx-2∫√1-x²darcsinx=x(arcsinx)²+2（√1-x）·arcsinx-2x+C
明白了吗

Answer 2

第一题是不是答案错了 没有-1/2项
用分部积分
第一题 =0.5 ∫ln（x ^2+1）d（x ^2+1）
=0.5（x ^2+1）ln（x ^2+1）-0.5 ∫ （x ^2+1）dln（x ^2+1）
=0.5（x ^2+1）ln（x ^2+1）- ∫ xdx
=0.5（x ^2+1）ln（x ^2+1）- 0.5x^2+c
第二题 =x(arcsinx)²-∫ xd(arcsinx)²
=x(arcsinx)²-2∫ xarcsinx*(1/(√1-x²)dx
=x(arcsinx)²+2∫ arcsinx*d(√1-x²)
=x(arcsinx)²+2(√1-x²)*arcsinx-2∫ (√1-x²)darcsinx
= x(arcsinx)²+2(√1-x²)*arcsinx-2x+C

Answer 3

1.∫x㏑(x²+1)dx =(1/2)∫㏑(x²+1)d(x²+1) (分部积分）
=(1/2)(x²+1)ln(x²+1)-(1/2)∫(x²+1)d㏑(x²+1)
=(1/2)(x²+1)ln(x²+1)-(1/2)∫d(x²+1)
=(1/2)(x²+1)ln(x²+1)-(1/2)(x²+1)+C

2.∫(arcsinx)²dx =x(arcsinx)²-∫xd(arcsinx)² (分部积分）
=x(arcsinx)²-∫2xarcsinx*(1/(√1-x²)dx
=x(arcsinx)²+∫2arcsinx*d(√1-x²) (分部积分）
=x(arcsinx)²+2(√1-x²)*arcsinx-2∫(√1-x²)darcsinx
= x(arcsinx)²+2(√1-x²)*arcsinx-2x+C