Question

请问这道高中理科数学题怎么做？要求写出具体的运算步骤。

对任意的x>0,y>0,x+y-a(x+2√2√x√y)大于等于0恒成立，则求a的取值范围？答案是：a小于等于二分之一

Answer 1

x+y-a(x+2√2√x√y)>=0恒成立
等价于a<=(x+y)/(x+2√2√x√y)恒成立
也即等价于a<=(x+y)/(x+2√2√x√y)的最小值
令x=m^2,y=n^2(因为x,y都大于0)
右式
=(m^2+n^2)/(m^2+2√2mn)
=[(m/n)^2+1]/[(m/n)^2+2√2m/n]
令m/n=p
原式=(p^2+1)/(p^2+2√2p)
令λ=(p^2+1)/(p^2+2√2p)
得到（λ-1）p^2+2√2λp-1=0
由德尔塔>=0得到8λ^2+4λ-4>=0解得λ>=1/2（当然最好讨论一下λ是否等于1）
所以a<=1/2