Question

x^2/12+y^2/3=1,过椭圆c的右焦点于椭圆c分别交于A,B两点,A在x轴下方,且向量AF=3向量FB,F为椭圆右焦点

求过O,A,B三点的圆的方程

Answer 1

由已知，F(3,0)，设AB：x=ky+3，代入椭圆方程得（k²+4)y²+6ky-3=0
设：A(x1,y1),B(x2,y2)，（y1<0,y2>0)，则
y1+y2=-6k/(k²+4)，y1y2=-3/(k²+4)，y1=-3y2
所以，y2=3k/(k²+4)，(y2)²=1/(k²+4)，
解得：k=√2/2，y2=√2/3，y1=-√2
从而：x2=10/3，x1=2
设过O,A,B的圆为：x²+y²+Dx+Ey=0,则
6+2D+√2E=0，34+10D+√2E=0
解得：D=-10/3，E=-√2/3
过O,A,B三点的圆的方程为3x²+3y²-10x-√2y=0,