Question

如图，在平面直角坐标系中，点A、C的坐标分别为（-1，0）、（0，-根号3）点B

如图，在平面直角坐标系中，点A、C的坐标分别为（-1，0）、（0，-根号3）点B在X轴上。已知某二次函数的图像经过A、B、C三点，且他的对称轴为直线X=1，点P为直线BC下方的二次函数图像上的一个动点（点P与B、C不重合），过点P作y轴的平行线交BC于点F．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）若设点P的横坐标为m，用含m的代数式表示线段PF的长；
（3）求△PBC面积的最大值，并求此时点P的坐标．

Answer 1

A（-1,0),B(xb,0)关于M（1,0）对称
=> xb=2xm-xa=2*1-(-1)=3

1)设二次函数式为 y=a(x-1)²+b， 代入 A，C坐标
=> 0=4a+b -√3=a+b => 3a=√3 => a=√3/3 => b=-4√3/3
∴函数解析式为 y=√3x²/3-2√3x/3-√3

2）直线BC的解析式： y-yb=(x-xb)(yc-yb)/(xc-xb)
=> y=(x-3)(-√3-0)/(0-3) => y=√3x/3-√3 【√3x-3y-3√3=0】
PF=y直线-y抛物线=（√3m/3-√3)- (√3m²/3-2√3m/3-√3)
=-√3m²/3+√3m [0<m<3]

3)Spbc=PF*|xb|/2=(-√3m²/3+√3m)(3/2)=-√3m²/2+3√3m/2 [0<m<3]
Smax=(4ac-b²）/4a=(-9*3/4)/(-4√3/2)=9√3/8
此时的m值（即P点横坐标） -b/2a=(-3√3/2)/(-2√3/2)=3/2
xp=3/2 yp=√3(9/4)/3-2√3(3/2)/3-√3=-5√3/4
∴P点坐标 P（3/2 ，-5√3/4)